Задачи на цилиндрический сосуд егэ

11 кл-Цилиндрна ЕГЭ

№1.

В цилиндрический сосуд налили 1200 см3 воды. Уровень воды при этом достигает высоты 12 см. В жидкость полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 10 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в см3.

№1.

В цилиндрический сосуд налили 5000 см3 воды. Уровень воды при этом достигает высоты 14 см. В жидкость полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 7 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в см3.

№2.В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 16 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй сосуд, диаметр которого в 2 раза больше первого? Ответ выразите в см.

№2

В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 8 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй сосуд, диаметр которого в 2 раза больше первого? Ответ выразите в сантиметрах.

№3

Объем первого цилиндра равен 86 м3. У второго цилиндра высота в 3 раза больше, а радиус основания — в 2 раза меньше, чем у первого. Найдите объем второго цилиндра. Ответ дайте в кубических метрах.

№3

Объем первого цилиндра равен 63 м3. У второго цилиндра высота в 4 раза больше, а радиус основания — в 3 раза меньше, чем у первого. Найдите объем второго цилиндра. Ответ дайте в кубических метрах.

№4

Длина окружности основания цилиндра равна 0,3, высота равна 14. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

№4

Длина окружности основания цилиндра равна 0,5, высота равна 0,04. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

№5

Площадь осевого сечения цилиндра равна 17,3. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на П

№5

Площадь осевого сечения цилиндра равна 35,03. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на П

№6Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите V/ П

№6 Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите V/ П

№7Площадь боковой поверхности цилиндра равна 80,а его объём равен 320 Найти его высоту

№7 Площадь боковой поверхности цилиндра равна 130,а его объём равен 325 Найти его высоту

11кл-Цилиндр

ВАРИАНТ-3

ВАРИАНТ-4

№1.

В цилиндрический сосуд налили 1000 см3 воды. Уровень воды при этом достигает высоты 20 см. В жидкость полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 4 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в см3.

№1.

В цилиндрический сосуд налили 1800 см3 воды. Уровень жидкости оказался равным 12 см. В во-

ду полностью погрузили деталь. При этом уро-

вень жидкости в сосуде поднялся на 2 см. Чему равен объём детали? Ответ выразите в см3.

№2

В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 128 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй сосуд, диаметр которого в 8 раз больше первого? Ответ выразите в см.

№2

В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 27 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй сосуд, диаметр которого в 3 раза больше первого? Ответ выразите в сантиметрах.

№3

Объем первого цилиндра равен 42 м3. У второго цилиндра высота в 3 раза больше, а радиус основания — в 2 раза меньше, чем у первого. Найдите объем второго цилиндра. Ответ дайте в кубических метрах.

№3

Объем первого цилиндра равен 88 м3. У второго цилиндра высота в 3 раза больше, а радиус основания — в 4 раза меньше, чем у первого. Найдите объем второго цилиндра. Ответ дайте в кубических метрах.

№4

Длина окружности основания цилиндра равна 13,2, высота равна 5. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

№4

Длина окружности основания цилиндра равна 12,6, высота равна 0,55. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

№5

Площадь осевого сечения цилиндра равна 45,8. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на П

№5

Площадь осевого сечения цилиндра равна 26,1. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на П

№6 Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите V/ П

№7 Площадь боковой поверхности цилиндра равна 24,а его объём равен 48 Найти его высоту

№7 Площадь боковой поверхности цилиндра равна 80,а его объём равен 250 Найти его высоту

11кл-Цилиндр

ВАРИАНТ-5

ВАРИАНТ-6

№1.

В цилиндрический сосуд налили 2000 см3

воды. Уровень воды при этом достигает высоты 12 см. В жидкость полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 9 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в см3.

№1.

В цилиндрический сосуд налили 1000 см3воды. Уровень воды при этом достигает высоты 25 см. В жидкость полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 5 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в см3

№2

В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 48 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй сосуд, диаметр которого в 4 раза больше первого? Ответ выразите в см.

№2

В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 32 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй сосуд, диаметр которого в 4 раза больше первого? Ответ выразите в сантиметрах.

№3

Объем первого цилиндра равен 40 м3. У второго цилиндра высота в 3 раза больше, а радиус основания — в 4 раза меньше, чем у первого. Найдите объем второго цилиндра. Ответ дайте в кубических метрах.

№3

Объем первого цилиндра равен 64 м3. У второго цилиндра высота в 3 раза больше, а радиус основания — в 4 раза меньше, чем у первого. Найдите объем второго цилиндра. Ответ дайте в кубических метрах.

№4

Длина окружности основания цилиндра равна 108, высота равна 0,8. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

№4

Длина окружности основания цилиндра равна 28, высота равна 8. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

№5

Площадь осевого сечения цилиндра равна 28,3. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на П

№5

Площадь осевого сечения цилиндра равна 68,5. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на П

№6Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите V/ П

№6 Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите V/ П

№7 Площадь боковой поверхности цилиндра равна 80,а его объём равен 320 Найти его высоту

№7 Площадь боковой поверхности цилиндра равна 130,а его объём равен 325 Найти его высоту

11кл-Цилиндр

ВАРИАНТ-7

ВАРИАНТ-8

№1.

В цилиндрический сосуд налили 1000 см3 воды. Уровень воды при этом достигает высоты 16 см. В жидкость полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 12 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в см3

№1.

В цилиндрический сосуд налили 5000 см3 воды. Уровень воды при этом достигает высоты 24 см. В жидкость полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 6 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в см3

№2

В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 36 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй сосуд, диаметр которого в 3 раза больше первого? Ответ выразите в см.

№2

В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 180 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй сосуд, диаметр которого в 6 раз больше первого? Ответ выразите в сантиметрах.

№3

Объем первого цилиндра равен 12 м3. У второго цилиндра высота в три раза больше, а радиус основания — в два раза меньше, чем у первого. Найдите объем второго цилиндра. Ответ дайте в кубических метрах.

№3

Объем первого цилиндра равен 30 м3. У второго цилиндра высота в три раза больше, а радиус основания — в два раза меньше, чем у первого. Найдите объем второго цилиндра. Ответ дайте в кубических метрах.

№4

Длина окружности основания цилиндра равна 18, высота равна 0,8. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

№4

Длина окружности основания цилиндра равна 4,8, высота равна 0,0 8. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

№5

Площадь осевого сечения цилиндра равна 64,03. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на П

№5

Площадь осевого сечения цилиндра равна 12,7. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на П

№6 Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите V/ П

№7 Площадь боковой поверхности цилиндра равна 24,а его объём равен 48 Найти его высоту

№7 Площадь боковой поверхности цилиндра равна 80,а его объём равен 250 Найти его высоту

ОТВЕТЫ

2500.

200.

300.

1500.

200

750

1250

64,5

31,5

16,5

7,5

22,5.

4,2

0,02

6,93

86,4

224

14,4

0,384

17,3.

35,03.

45,8

29,1

28,3

68,5

64,03

12,7

Источник

Задание №1075

Тип задания: 8
Тема:
Цилиндр

Условие

В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 20 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в два раза больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.

Цилиндрической сосут с жидкостью

Показать решение

Решение

Пусть R — радиус основания первого сосуда, тогда 2R — радиус основания второго сосуда. По условию объём жидкости V в первом и втором сосуде один и тот же. Обо-значим через H — уровень, на который поднялась жидкость во втором сосуде. Тогда

V=pi R^2 cdot 20, и V=pi (2R)^2H = 4pi R^2H. Отсюда pi R^2 cdot 20 = 4pi R^2H, 20 = 4H, H =5

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №911

Тип задания: 8
Тема:
Цилиндр

Условие

В цилиндрический сосуд налили 2000 см3 воды. Уровень жидкости оказался равным 15 см. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 9 см. Чему равен объём детали? Ответ выразите в см3.

Цилиндрический сосуд с водой

Показать решение

Решение

Пусть R — радиус основания цилиндра, а h — уровень воды, налитой в сосуд. Тогда объём налитой воды равен объёму цилиндра с радиусом основания R и высотой h. Vводы = Sосн. · h = pi R^2cdot h. Согласно условию выполняется равенство 2000=pi R^2cdot15. Отсюда, pi R^2=frac{2000}{15}=frac{400}{3}.

Пусть H — уровень воды в сосуде после погружения в него детали. Тогда суммарный объем воды и детали равен объему цилиндра с радиусом основания R и высотой H. По условию H=h+9=15+9=24. Значит, Vводы + детали = pi R^2cdot H=frac{400}{3}cdot24=3200. Следовательно, Vдетали = Vводы + детали − Vводы = 3200-2000=1200.

Ответ

1200

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №315

Тип задания: 8
Тема:
Цилиндр

Условие

Найдите высоту цилиндра, если радиус его основания равен 8, а площадь боковой поверхности 96pi.

Показать решение

Решение

S=2pi rh,

96pi=2picdot8h,

h=frac{96pi}{16pi}=6.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Задание №72

Тип задания: 8
Тема:
Цилиндр

Условие

В сосуд цилиндрический формы налили 500 куб. см воды. Определите объем детали полностью погруженной в воду, если после погружения уровень жидкости увеличился в 1,2 раза. Выразите ответ в куб. см.

Показать решение

Решение

Обозначим за V1 изначальный объем жидкости в цилиндре. После погружения детали, объем жидкости увеличился в 1,2 раза, значит конечный объем жидкости равен V2 = 1,2·V1. Объем детали равен разности объемов до и после погружения, значит V = V_2-V_1=1,2cdot 500-500=100 куб. см.

Ответ

100

Задание №71

Тип задания: 8
Тема:
Цилиндр

Условие

Уровень жидкости в первом сосуде цилиндрической формы достигает 63 см. Диаметр второго сосуда, такой же формы, больше диаметра первого в 3 раза. Определите уровень жидкости, если ее перелить из первого сосуда во второй. Ответ укажите в сантиметрах.

Показать решение

Решение

Формула вычисления объема первого цилиндра имеет вид:

V_1=pi cdot R_1^2 cdot h_1=pileft ( frac{d_1}{2} right )^2h_1, где:

d1 – диаметр цилиндра;

h1 – высота цилиндра.

Так как диаметр второго сосуда в 3 раза больше диаметра первого, то его объем равен: V_2=pileft ( frac{3d_1}{2} right )^2h_2

При переливе жидкости ее исходный объем не изменяется, т.е.: V1 = V2, а значит справедливо равенство: pileft(frac{d_1}{2}right)^2h_1=pileft(frac{3d_1}{2}right)^2h_2

Подставим значения из условия, упростим выражение и найдем искомую высоту жидкости второго сосуда h2:

pi enspacefrac{d_1^{2}}{4}enspace 63=pi enspacefrac{9d_1^{2}}{4}enspace h_2

frac{63}{4}=frac{9}{4}h_2

h_2=frac{63}{9}=7

Ответ

Источник

Наглядная стереометрия

В 13 задании ЕГЭ базового уровня мы будем иметь дело с задачами по стереометрии, но не абстрактными, а наглядными примерами. Это могут быть задачи на уровень жидкости в сосудах, которую я разобрал ниже, или же задачи на модификации фигуры — например, у которой отрезали вершины. Нужно быть готовым к решению простых задач по стереометрии — они обычно сводятся сразу к задачам на плоскости, необходимо только правильно посмотреть на чертеж.

Разбор типовых вариантов заданий №13 ЕГЭ по математике базового уровня

Вариант 13МБ1

Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне h = 80 см. На каком уровне окажется вода, если ее перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания в 4 раза больше, чем у данного? Ответ дайте в сантиметрах.

Алгоритм выполнения:

Записать формулу объема цилиндра.
Подставить значения для цилиндра с жидкостью в первом и во втором случае.
Объем жидкости не изменялся, следовательно, можно приравнять объемы.
Полученное уравнение решить относительно второй высоты h2.
Подставить данные и вычислить искомую величину.

Решение:

Запишем формулу объема цилиндра.

Если вы забыли формулу объема цилиндра, то напомню, как ее можно легко вывести. Объем простых фигур, таких как куб и цилиндр, можно вычислить умножив площадь основания на высоту. Площадь основания в случае с цилиндром равна площади окружности, которую, вы, наверняка помните: π • r2.
Следовательно, объем цилиндра равен π • r2 • h

Подставим значения для цилиндра с жидкостью в первом и во втором случае. V1 = π r12 h1 V2 = π r22 h2 Объем жидкости не изменялся, следовательно, можно приравнять объемы.

V1 = V2

Левые части равны, значит можно приравнять и правые.

π r12 h1 = π r22 h2

Полученное уравнение решим относительно второй высоты h2.

h2 – неизвестный множитель. Чтобы найти неизвестный множитель нужно произведение разделить на известный множитель.

h2 =( π r12 h1)/ π r22

По условию площадь основания стала в 4 раза больше, то есть r2 = 4 r1 . Подставим r2 = 4 r1 в выражение для h1. Получим: h2 =( π r12 h1)/ π (4 r1) 2 Полученную дробь сократим на π, получим h2 =( r12 h1)/ 16 r12 Полученную дробь сократим на r1, получим h2 = h1/ 16. Подставим известные данные: h2 = 80/ 16 = 5 см. Ответ: 5.

Вариант 13МБ2

Даны две коробки, имеющие форму правильной четырёхугольной призмы. Первая коробка в четыре с половиной раза выше второй, а вторая втрое шире первой. Во сколько раз объём первой коробки меньше объёма второй?

Алгоритм выполнения:

Записать формулу, для вычисления объема правильной четырехугольной призмы.
Записать в общем виде формулу для нахождения объема в первом и втором случае.
Найти отношение объемов.
Преобразовать полученное выражение с учетом соотношения измерений первой и второй призмы.
Сократить получившуюся дробь.

Решение:

Запишем формулу, для вычисления объема правильной четырехугольной призмы.

V = a · b · c

Запишем в общем виде формулу для нахождения объема в первом и втором случае.

V1 = a1 · b1 · c1

V2 = a2 · b2 · c2

Найдем отношение объемов.

V1 / V2 = (a1 · b1 · c1)/ ( a2 · b2 · c2)

Преобразуем полученное выражение с учетом соотношения измерений первой и второй призмы. По условию c1 = 4,5 c2 (первая коробка в четыре с половиной раза выше второй), b2 = 3 b1 (вторая коробка втрое шире первой). Так как это правильные четырехугольные призмы, то в основании лежит квадрат, а значит глубина второй коробки тоже втрое больше глубины первой, то есть a2 = 3 a1 Подставим эти выражения в формулу отношения объемов:

V1 / V2 = (a1 · b1 · c1)/ ( a2 · b2 · c2) = (a1 · b1 · 4,5c2)/ ( 3a1 · 3b1 · c2) = (a1 · b1 · 4,5c2)/ ( 9a1 · b1 · c2)

Сократим получившуюся дробь на a1 · b1 · c2. Получим:

V1 / V2 = (a1 · b1 · 4,5c2)/ ( 9a1 · b1 · c2) = 4,5/9 = ½.

Объем первой коробочки в 2 раза меньше объема второй. Ответ: 2.

Вариант 13МБ3

Даны две коробки, имеющие форму правильной четырёхугольной призмы. Первая коробка в полтора раза выше второй, а вторая втрое шире первой. Во сколько раз объём первой коробки меньше объёма второй?

Алгоритм выполнения:

Записать формулу, для вычисления объема правильной четырехугольной призмы.
Записать в общем виде формулу для нахождения объема в первом и втором случае.
Найти отношение объемов.
Преобразовать полученное выражение с учетом соотношения измерений первой и второй призмы.
Сократить получившуюся дробь.

Решение:

Запишем формулу, для вычисления объема правильной четырехугольной призмы.

V = a · b · c

Запишем в общем виде формулу для нахождения объема в первом и втором случае.

V1 = a1 · b1 · c1

V2 = a2 · b2 · c2

Найдем отношение объемов.

V1 / V2 = (a1 · b1 · c1)/ ( a2 · b2 · c2)

Преобразуем полученное выражение с учетом соотношения измерений первой и второй призмы.

По условию c1 = 1,5 c2 (первая коробка в полтора раза выше второй), b2 = 3 b1 (вторая коробка втрое шире первой).

Так как это правильные четырехугольные призмы, то в основании лежит квадрат, а значит глубина второй коробки тоже втрое больше глубины первой, то есть a2 = 3 a1

Подставим эти выражения в формулу отношения объемов:

V1 / V2 = (a1 · b1 · c1)/ ( a2 · b2 · c2) = (a1 · b1 · 1,5c2)/ ( 3a1 · 3b1 · c2) = (a1 · b1 · 1,5c2)/ ( 9a1 · b1 · c2)

Сократим получившуюся дробь на a1 · b1 · c2. Получим:

V1 / V2 = (a1 · b1 · 1,5c2)/ ( 9a1 · b1 · c2) = 1,5/9 = 15/(10 · 9) = 3/(2 · 9) = 1/ (2 · 3) = 1/6.

Объем первой коробочки в 6 раза меньше объема второй. Ответ: 6.

Вариант 13МБ4

От деревянного кубика отпилили все его вершины (см. рис.). Сколько граней у получившегося многогранника (невидимые ребра на рисунке не изображены)?

Сначала вспомним сколько всего граней и вершин у куба: шесть граней и восемь вершин. Теперь на месте каждой вершины образуется новая грань после отпила, значит у модифицированного в задании куба шесть родных граней и восемь новых (после отпила). Итого получаем: 6 + 8 = 14 граней.

Ответ: 14.

Если бы нас спросили, а сколько вершин у нового «куба». Очевидно, если вместо одной становится три, а их всего восемь, то получаем: 8 • 3 = 24

Вариант 13МБ5

Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 2 и 6, а второго – 6 и 4. Во сколько раз объем второго цилиндра больше объема первого?

Алгоритм выполнения

Записываем ф-лу для вычисления объема цилиндра.
Вводим обозначения для радиуса основания и высоты 1-го цилиндра. Выражаем подобным образом аналогичные параметры 2-го цилиндра.
Формируем формулы для объема 1-го и 2-го цилиндров.
Вычисляем отношение объемов.

Решение:

Объем цилиндра равен: V=πR2H. Обозначим радиус основания 1-го цилиндра через R1, а его высоту – через Н1. Соответственно, радиус основания 2-го цилиндра обозначим через R2, а высоту – через Н2. Отсюда получим: V1=πR12H1, V2=πR22H2. Запишем искомое отношение объемов:

. Подставляем в полученное отношение числовые данные:

. Вывод: объем 2-го цилиндра больше объема 1-го в 6 раз.

Вариант 13МБ6

В бак, имеющий форму прямой призмы, налито 5 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке поднялся в 1,4 раза. Найдите объем детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах, зная, что в одном литре 1000 кубических сантиметров.

Алгоритм выполнения

Вводим обозначения для объема до погружения детали и после. Пусть это будет соответственно V1 и V2.
Фиксируем значение для V1. Выражаем V2 через V1. Находим значение V2.
Переводим результат, полученный в литрах, в куб.см.

Решение:

Объем бака до погружения V1=5 (л). Т.к. после погружения детали объем стал равным V2. Согласно условию, увеличение составило 1,4 раза, поэтому V2=1,4V1. Отсюда получаем: V2=1,4·5=7 (л). Т.о., разница объемов, которая и составляет объем детали, равна:

V2–V1=7–5=2 (л).

2 л=2·1000=2000 (куб.см).

Вариант 13МБ7

Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне h=80 см. На каком уровне окажется вода, если ее перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания вдвое больше, чем у первого? Ответ дайте в сантиметрах.

Алгоритм выполнения

Записываем ф-лу для расчета объема цилиндра.
На основании этой формулы записываем 2 уравнения – для вычисления объема воды в 1-м и 2-м сосудах. Для этого используем в формуле соответствующие индексы 1 и 2.
Поскольку воду просто переливают их одного сосуда в другой, то ее объем не изменяется. Поэтому приравниваем полученные уравнения. Из полученного единственного уравнения находим уровень воды во 2-м сосуде, выраженный высотой h2.

Решение:

Объем цилиндра равен: V=Sоснh=πR2h. Объем воды в 1-м сосуде: V1=πR12h1. Объем во 2-м сосуде: V2=πR22h2. Приравниваем V1 и V2: πR12h1=πR22h2. Сокращаем на π, выражаем h2:

. По условию R2=2R1. Отсюда:

Вариант 13МБ8

От деревянной правильной треугольной призмы отпилили все ее вершины (см. рис.). Сколько вершин у получившегося многогранника (невидимые ребра на рисунке не изображены)?

Алгоритм выполнения

Определяем количество вершин у треугольной призмы.
Анализируем изменения, которые произойдут при отпиливании всех вершин. Подсчитываем кол-во вершин у нового многогранника.

Решение:

Вершины призмы формируют вершины оснований (верхнего и нижнего). Поскольку основаниями правильной треугольной призмы являются правильные треугольники, то вершин у такой призмы 3·2=6 штук.

Спилив вершины призмы, получим вместо них небольшие (по сравнению с размерами самой призмы) треугольники. Это отображено и на рисунке. То есть вместо каждой вершины образуется 3 новых. Следовательно, их кол-во станет равным: 6·3=18.

Вариант 13МБ9

Даны две коробки, имеющие форму правильной четырехугольной призмы, стоящей на основании. Первая коробка в четыре с половиной раза ниже второй, а вторая второе уже первой. Во сколько раз объем первой коробки больше объема второй?

Алгоритм выполнения

Вводим обозначения для линейных параметров коробок и их объемов.
Определяем зависимость линейных параметров согласно условию.
Записываем формулу для вычисления объема призмы.
Адаптируем эту формулу для объемов коробок.
Находим отношение объемов.

Решение:

Т.к. форма коробок – правильная призма, то в их основании лежат квадраты. Поэтому можем обозначить длину и ширину каждой коробки одинаково. Пусть для первой коробки это а1, а для второй а2. Высоты коробок обозначим соответственно h1 и h2. Объемы – V1 и V2.

Согласно условию, h2=4,5h1, а1=3а2. Объем призмы равен: V=Sоснh. Т.к. в основании коробок лежит квадрат, то Sосн=а2. Отсюда: V=a2h. Для 1-й коробки имеем: V1=a12h1. Для 2-й коробки: V2=a22h2. Тогда получаем отношение: Ответ: 2

Вариант 13МБ10

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает ½ высоты. Объем сосуда 1600 мл. Чему равен объем налитой жидкости? Ответ дайте в миллилитрах.

Алгоритм выполнения

Доказываем, что данные в условии конусы подобны.
Определяем коэффициент подобия.
Используя свойство для объемов подобных тел, находим объем жидкости.

Решение:

Если рассматривать сечение конуса по двум его противоположно расположенным образующим (осевое сечение), то видим, что полученные таким способом треугольники большого конуса и малого (образованного жидкостью) подобны. Это следует из равенства их углов. Т.е. имеем: у конусов подобны высоты и радиусы основания. Отсюда делаем вывод: т.к. линейные параметры конусов подобны, то и конусы подобны.

По условию высота малого конуса (жидкости) составляет ½ высоты конуса. Значит, коэффициент подобия малого и большого конусов равен ½.

Применяем св-во подобия тел, которое заключается в том, их объемы относятся как коэффициет подобия в кубе. Обозначим объем большого конуса V1, малого – V2. Получим:

. Поскольку по условию V1=1600 мл, то V2=1600/8=200 мл.

Вариант 13МБ11

Даны два шара с радиусами 4 и 1. Во сколько раз объем большего шара больше объема меньшего?

Алгоритм выполнения

Записываем формулу для вычисления объема шара.
Адаптируем формулу для каждого из шаров. Для этого используем индексы 1 и 2.
Записываем отношение объемов, вычисляем его, подставив числовые данные из условия.

Решение:

Объем шара вычисляется по ф-ле: . Отсюда объем 1-го (большего) шара равен , 2-го (меньшего) шара – . Составим отношение объемов:

Подставляем в полученную формулу числовые данные из условия:

Вывод: объем большего шара в 64 раза больше.

Вариант 13МБ12

Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 4 и 18, а второго – 2 и 3. Во сколько раз площадь боковой поверхности первого цилиндра больше площади боковой поверхности второго?

Алгоритм выполнения

Записываем формулу для определения площади бок.поверхности цилиндра.
Переписываем ее дважды с использованием соответствующих индексов – для 1-го (большего) и 2-го (меньшего) цилиндров.
Находим отношение площадей. Вычисляем отношения, используя числовые данные из условия.

Решение:

Площадь бок.поверхности цилиндра вычисляется так: S=2πRH. Для 1-го цилиндра имеем: S1=2πR1H1. Для 2-го цилиндра: S2=2πR2H2. Составим отношение этих площадей:

Найдем числовое значение полученного отношения:

Вывод: площадь боковой поверхности 1-го цилиндра больше в 12 раз.

Вариант 13МБ13

Однородный шар диаметром 3 см весит 162 грамма. Сколько граммов весит шар диаметром 2 см, изготовленный из того же материала?

Алгоритм выполнения

Записываем формулу для определения массы большего шаров через плотность и объем.
Объем в этой формуле расписываем через ф-лу объема шара (через его радиус).
Записываем ф-лу для массы меньшего шара, расписываем объем через радиус (по аналогии с пп.1 и 2).
Поскольку оба шара изготовлены из одного и того же материала, то найденное значение для плотности можем использовать в ф-ле для массы меньшего шара. Вычисляем искомую массу.

Решение:

Масса большего (1-го) шара равна: m1=ρV1. Объем этого шара составляет V1=(4/3)πR13. Отсюда получаем: m1=(4/3)πρR13. Из этого уравнения выразим плотность: . Масса меньшего (2-го) шара равна: m2=ρV2. Объем шара: V2=(4/3)πR23. В ур-ние для m2 подставим выражения для ρ и V2. Получаем:

Вычисляем m2:

Вариант 13МБ14

В бак, имеющий форму правильной четырехугольной призмы со стороной основания, равной 40 см, налита жидкость. Чтобы измерить объем детали сложной формы, ее полностью погружают в эту жидкость. Найдите объем детали, если после ее погружения уровень жидкости в баке поднялся на 10 см. Ответ дайте в кубических сантиметрах.

Алгоритм выполнения

Определяем часть призмы, соответствующую объему погруженной детали.
Вычисляем объем детали на основании формулы для определения объема прямой призмы с квадратом в основании.

Решение:

Погруженная в жидкость деталь занимает объем, соответствующий столбу жидкости, высота которого равна 10 см, т.е. разнице, возникшей между начальной высотой жидкости и конечной (после погружения). Это означает, что деталь имеет объем, равный части жидкости, занимающей объем 40х40х10 (см).

Найдем этот объем:

V=40·40·10=16000 (см3).

Даниил Романович | ???? Скачать PDF |

Источник