Задачи с 2 сосудами
Это учебная статья по математике, перед началом занятий мы рекомендуем ознакомиться с
вводной частью
Все задачи на переливания принципиально делятся на 2 типа.
Первый – когда у нас есть много жидкости (озеро, бесконечно большая бочка, водопровод), и мы можем наполнять доверху сосуды сколь угодно большое количество раз, то есть количество жидкости не ограничено. При этом мы можем безбоязненно выливать воду из сосудов.
Второй – это когда жидкости у нас ровно столько, сколько изначально налито в сосудах (в этом случае у нас обычно не простая жидкость, а какая-либо особенная: молоко, сок и т. д.). Чаще всего эту жидкость ещё и нельзя проливать – авторы стараются это отдельно оговаривать. Если же мы можем выливать жидкость, то в условиях задачи обычно присутствует какой-либо персонаж, который может пить данный тип жидкости: Кот Баюн, сосед Гриша и т. п.
Также стоит понять принцип задач на переливания: например, если у нас есть сосуд объемом 8 литров и 5 литров, и нам надо отмерить 2 литра воды, мы не имеем права на следующее решение: «Наполним восьмилитровый сосуд на четверть – таким образом, мы и получим 2 литра воды». Или: «Давайте опустошим наш 5 литровый сосуд на 60%, тогда в нем останется ровно 2 литра воды». Нет, так делать нельзя. (Если у ребёнка в этом месте возникают вопросы, то вы можете придумать, например, такое оригинальное объяснение: «А вдруг наш сосуд – это какая-нибудь замысловатая ваза (или древняя амфора), конечно, без шкалы делений!» Или даже просто банка не вполне симметрична, а на глаз определить середину – проблематично…) Мы можем либо полностью наполнять сосуды, либо полностью опустошать их, либо переливать из одного сосуда в другой. При этом мы можем пользоваться тем, что при этих операциях часть воды может оставаться в сосуде, из которого дополняется другой сосуд.
Для примера решим три задачи.
Задача 1-го типа
Для приготовления компота маме нужно налить в 5-литровую кастрюли 4 литра воды. Как маме справиться с этой задачей, если у мамы есть кроме этой кастрюли ещё 3-литровая банка, водопроводный кран и раковина, куда можно выливать воду?
Решение.
Нальём в 3-литровую банку воду и перельём её в кастрюлю. Затем еще раз наполним банку и выльём в кастрюлю, сколько поместится. Тогда в кастрюле будет 5 литров и 1 литр в 3-литровой банке. Теперь выльем всю воду из кастрюли в раковину. Затем перельем литр из банки в кастрюлю и добавим ещё три литра, наполнив банку ещё раз. Теперь в кастрюле 1 + 3 = 4 литра, что и требовалось. Задача решена.
Наше решение можно проиллюстрировать таблицей:
Итак, мы получили желанные 4 литра. Задача решена! Мы считаем, что такой способ решения с помощью таблицы является достаточно наглядным, и рекомендуем для вашего совместного с ребёнком решения.
Задача 2-го типа
У Марьи есть 2 кувшина объёмом 8 и 3 литра. В восьмилитровом кувшине налит весь имеющийся у Марьи кисель. Как отмерить 2 литра киселя? Все излишки киселя можно отдать Коту Баюну, который просто обожает это лакомство.
Решение.
Наполним трехлитровый кувшин доверху из восьмилитрового, после этого у нас будет 5 литров в 8-литровом и 3 литра в 3-литровом. Отдадим весь кисель из 3-литрового кувшина Коту Баюну. После этого у нас осталось 5 литров в 8-литровом и 3-литровый кувшин пуст. Снова наполним 3-литровый кувшин из 8-литрового. После этой операции в 8-литровом кувшине у нас останется ровно 2 литра (5 – 3 = 2). Мы отмерили 2 литра. Задача решена!
Решение также можно проиллюстрировать таблицей:
Ещё одна задача 2-го типа
Задача 3.
В кастрюле налито 8 литров супа. Есть также пустые 3-х и 5-тилитровая банки. Требуется отмерить 4 литра супа. Как это сделать, если суп нельзя проливать?
Решение.
1 способ. Нальём суп доверху в меньшую банку, затем перельём полученные три литра в 5-литровую банку, а 3-литровую наполним снова. Теперь будем лить суп из 3-литровой банки в 5-литровую, пока она не наполнится доверху. Тогда в меньшей банке останется 1 литр (5 – 3 = 2 и 3 – 2 = 1). Перельём 5 литров в кастрюлю, а 1 литр – в большую банку. Затем перельём 3 литра из кастрюли в меньшую банку. После этого в кастрюле останется ровно 4 литра. Задача решена.
2 способ. Нальём суп доверху в большую банку, тогда в кастрюле останется ровно 3 литр. Перельём из большой банки в меньшую 3 литра, после чего перельём их в кастрюлю. Перельём 2 литра из большой банки в меньшую, и наполним большую банку доверху супом из кастрюли. После чего дольём меньшую банку (там было 2 литра, а помещается 3) из большей банки. Получим 4 литра в большой банке. Задача решена.
Проиллюстрируем оба способа таблицам:
Советуем использовать таблицу при решении подобных задач.
Также ребёнку можно дать следующую подсказку. Речь пойдет о задачах, где разрешается выливать жидкости. Пусть в какой-то момент наполнены все сосуды, может быть, частично. Тогда перед ребенком стоит вопрос о том, откуда вылить жидкость. Выливать стоит из полного сосуда, а не из полупустого, так как количество литров в полном сосуде мы всегда с лёгкостью снова получим, тогда как получить полупустой сосуд − дело затруднительное. Надеемся, что в процессе работы вы сами сможете придумать множество оригинальных приемов и способов!
Обратите внимание, что приведённые решения могут не являться единственными. Ни в коем случае не говорите ребёнку, что он как-то не так стал решать задачу, если первым ходом он, допустим, налил воду из крана не в больший, а в меньший сосуд! Просто тщательно следите за его действиями. В большинстве задач есть как минимум 2 способа решения, и, скорее всего, при правильном выполнении переливаний ваш ребёнок в конечном итоге получит результат. Правда, возможно, за большее число ходов, зато – сколько удовольствия от самостоятельного решения без подсказок он получит!
Желаем успехов!
Испытайте свои знания!
Для самых умных и талантливых учеников мы проводим на сайте дистанционную интернет-олимпиаду.
Сразу же после прохождения олимпиады показываются результаты и полный разбор задач для работы над ошибками. В зависимости от успехов олимпиадника выдаются электронные дипломы и похвальные грамоты.
Каждый участник получает электронный сертификат участника.
Принять участие
Источник
Предмет математики настолько
серьезен, что нельзя упускать случая,
сделать его немного занимательным.
Блез Паскаль
Мало иметь хороший ум, главное – хорошо его
применять.
Рене Декарт
Математика – самый короткий путь к
самостоятельному мышлению.
В. Каверин
Введение
В этой работе приведены материалы одного
занятия математического кружка, проводимого для
учащихся 5-6 классов в Центре образования №1454 г.
Москвы.
Цель проведения кружка: создание
условий для развития творческой, познавательной
активности учащихся при изучении математики,
развитие и сохранение устойчивого и
долговременного интереса к предмету.
Задачи:
- развивать познавательные интересы ребенка
(восприятие, мышление, внимание, воображение,
память и др.); - формировать у учащихся устойчивый интерес к
предмету и познавательную активность; - формировать навыки самостоятельной работы и
потребности в исследовательской деятельности; - развивать коммуникативные качества учащихся.
Увлечение математикой часто начинается с
размышлений над какой-то новой, интересной,
нестандартной задачей. Она может встретиться и
на школьном уроке, и на занятии математического
кружка, в журнале или книге, ее можно услышать от
друга или от родителей. Задачи на логику
развивают сообразительность, интеллект и
упорство в достижении цели. Очень часто одна
решенная логическая задача пробуждает у
ребенка устойчивый и долговременный интерес к
изучению математики, желание искать и решать
новые логические, нестандартные задачи и задачи
повышенной трудности. А это, во многом, и есть
главная цель учителя.
Логические задачи – это хороший способ развития
умственных способностей.
Задачи на переливания
1. Имеются двухлитровая и пятилитровая банки.
Как сделать так, чтобы, в одной из них оказался
ровно один литр воды?
2. Для марш-броска солдату необходимо иметь 4
литра воды. Больше он взять не может. На базе, где
имеется источник воды, есть только 5-литровые
фляги и 3-литровые банки. Как с помощью одной
фляги и одной банки набрать 4 литра во флягу?
3. Как, имея 5-литровое ведро и 9-литровую банку,
набрать из реки ровно три литра воды?
4. Из полного восьмилитрового ведра отлейте 4 л с
помощью пустых 3-литровой банки и
5-литрового бидона. (Пользоваться другими
емкостями и выливать воду на землю нельзя).
5. Отлейте из цистерны 13 л молока, пользуясь
бидонами емкостью 17 л и 5 л.
6. Тому Сойеру нужно покрасить забор. Он имеет 12 л
краски и хочет отлить из этого количества
половину, но у него нет сосуда вместимостью в 6 л.
У него 2 сосуда: один – вместимостью в 8 л, а другой
– вместимостью в 5 л. Каким образом налить 6 л
краски в сосуд на
8 л? Какое наименьшее число переливаний
необходимо при этом сделать?
7. Имеются два полных десятилитровых бидона
молока и пустые кастрюли емкостью четыре литра и
пять литров. Отлейте по 2 л молока в каждую
кастрюлю.
Решения задач
1. Имеются двухлитровая и пятилитровая банки.
Как сделать так, чтобы, в одной из них оказался
ровно один литр воды?
Решение.
Отразим результаты каждого шага переливания в
таблице.
| Банка 2 л | Набрать 2 л и вылить их в 5-литровую | Набрать 2 л и вылить их в 5-литровую | Набрать 2 л и наполнить 5-литровую | 1 |
| Банка 5 л | 2 | 4 | 5 | 5 |
2. Для марш-броска солдату необходимо иметь 4
литра воды. Больше он взять не может. На базе, где
имеется источник воды, есть только 5-литровые
фляги и 3-литровые банки. Как с помощью одной
фляги и одной банки набрать 4 литра во флягу?
Решение.
| Фляга 4 л | 2 | 2 | 2 | 4 |
| Фляга 5 л | Набираем 5 л и 3 л выливаем | 2 | Набираем 5 л и 3 л выливаем | 2 |
| Банка 3 л | 3 | 3 |
3. Как, имея пятилитровое ведро и девятилитровую
банку, набрать из реки ровно три литра воды?
Решение.
Заполняем 9-литровую банку и выливаем из нее 5 л
в 5-литровое ведро. в 9-литровом ведре остается
4 литра. выливаем воду из 5-литрового в реку и
наливаем в него 4 литра из 9-литрового. В
9-литровое набираем воду из реки, выливаем
оттуда 1 литр в 5-литровое, заполняя его доверху.
Теперь в 9-литровом ведре осталось 8 л. Выливаем
воду из 5-литрового опять в реку и из
9-литрового переливаем воду в 5-литровое. В
9-литровом теперь 3 литра. Если вода в ведре не
нужна, то ее можно вылить.
4. Из полного восьмилитрового ведра отлейте 4 л с
помощью пустых трехлитровой банки и
пятилитрового бидона. (Пользоваться другими
емкостями и выливать воду не землю нельзя).
Решение.
| Ведро, 8л | 8 | 3 | 3 | 6 | 6 | 1 | 1 | 4 |
| Бидон, 5 л | 5 | 2 | 2 | 5 | 4 | 4 | ||
| Банка, 3 л | 3 | 2 | 2 | 3 |
5. Отлейте из цистерны 13 л молока, пользуясь
бидонами емкостью 17 л и 5 л.
Решение.
| Бидон 17 л | 5 | 5 | 10 | 10 | 15 | 15 | 17 | 3 | 3 | 8 | 8 | 13 |
| Бидон 5 л | 5 | 5 | 5 | 5 | 3 | 3 | 5 | 5 |
6. Тому Сойеру нужно покрасить забор. Он имеет 12
л краски и хочет отлить из этого количества
половину, но у него нет сосуда вместимостью в 6 л.
У него 2 сосуда: один – вместимостью в 8 л, а другой
– вместимостью в 5 л. Каким образом налить 6 л
краски в сосуд на 8 л? Какое наименьшее число
переливаний необходимо при этом сделать?
Решение.
| Сосуд 12 л | 12 | 4 | 4 | 9 | 9 | 1 | 1 | 6 |
| Сосуд 5 л | 5 | 3 | 3 | 5 | ||||
| Сосуд 8 л | 8 | 3 | 3 | 8 | 6 | 6 |
7. Имеются два полных десятилитровых бидона
молока и пустые четырехлитровая и
пятилитровая кастрюли. Отлейте по 2 л молока в
каждую кастрюлю.
Решение.
| № шага | Фляга 10 л | Фляга 10 л | Кастрюля 5 л | Кастрюля 4 л |
1 | 10 | 10 | ||
2 | 10 | 5 | 5 | |
3 | 10 | 5 | 1 | 4 |
4 | 10 | 9 | 1 | |
5 | 10 | 4 | 5 | 1 |
6 | 10 | 4 | 2 | 4 |
7 | 10 | 8 | 2 | |
8 | 10 | 8 | 2 | |
9 | 10 | 3 | 5 | 2 |
10 | 10 | 3 | 3 | 4 |
11 | 10 | 7 | 3 | |
12 | 6 | 7 | 3 | 4 |
13 | 6 | 7 | 5 | 2 |
14 | 6 | 10 | 2 | 2 |
Дополнительные задачи и задачи для
самостоятельного решения
1. Для разведения картофельного пюре быстрого
приготовления “Зеленый великан” требуется 1
л воды. Как, имея два сосуда емкостью 5 и 9 литров,
налить 1 литр воды из водопроводного крана?
2. В походе приготовили ведро компота. Как, имея
банки, вмещающие 500г и 900г воды, отливать компот
порциями по 300 г?
3. Нефтяники пробурили скважину нефти.
Необходимо доставить в лабораторию на
экспертизу 6 литров нефти. В распоряжении имеется
9-литровый и 4-литровый сосуды. Как с помощью этих
сосудов набрать 6 литров?
4. Взгляни на берег – там ты увидишь две
банки. В одну из них помещается ровно два литра
воды, а в другую – три. Как налить в двухлитровую
банку точно один литр? Укажи два способа.
5. В два достаточно больших бидона как-то
разлили 3 л воды. Из первого переливают
половину имеющейся в нем воды во второй, затем из
второго переливают половину имеющейся в
нем воды в первый, затем из первого
переливают половину имеющейся в нем воды во
второй и т.д. Докажите, что независимо от того,
сколько воды было сначала в каждом из сосудов,
после 100 переливаний в них будет 2 л и 1 л с
точностью до миллилитра.
6. Две группы альпинистов готовятся к
восхождению. Для приготовления еды они
используют примусы, которые заправляют бензином.
В альплагере имеется 10-литровая канистра
бензина. Имеются еще пустые сосуды в 7 и 2 литров.
Как разлить бензин в два сосуда по 5 литров в
каждом?
7. Летом Винни Пух сделал запас меда на зиму и
решил разделить его пополам, чтобы съесть
половину до Нового Года, а другую половину –
после Нового года. Весь мед находится в ведре,
которое вмещает 6 литров, у него есть 2 пустые
банки – 5-литровая и 1-литровая. Может ли он
разделить мед так, как задумал?
8. Белоснежка ждет в гости гномов. Зима выдалась
морозной и снежной, и Белоснежка не знает точно,
сколько гномов решатся отправиться в далекое
путешествие в гости, однако знает, что их будет не
более 12. В ее хозяйстве есть кастрюлька на 12
чашек, она наполнена водой, и две пустых – на 9
чашек и на 5. Можно ли приготовить кофе для любого
количества гостей, если угощать каждого одной
чашкой напитка?
9. Нефтяники пробурили скважину нефти.
Необходимо доставить в лабораторию на
экспертизу 6 литров нефти. В распоряжении имеется
9-литровый и 4-литровый сосуды. Как с помощью этих
сосудов набрать 6 литров?
10. Бидон ёмкостью 10 л наполнен молоком.
Требуется перелить из этого бидона 5 л в
семилитровый бидон, используя при этом ещё один
бидон, вмещающий 3 л. Как это сделать?
11. Можно ли отмерить 8 л воды, находясь у реки и
имея два ведра: одно вместимостью 15 л, другое
вместимостью 16 л?
12. Есть три бидона емкостью 14, 9 и 5 литров. В
большом бидоне 14 л молока, остальные пусты. Как с
помощью этих бидонов разделить молоко пополам?
13. Имеется три сосуда без делений объемами 6 л, 7
л, 8 л, кран с водой, раковина и 6 л сиропа в самом
маленьком сосуде. Можно ли с помощью переливаний
получить 12 л смеси воды с сиропом, так чтобы в
каждом сосуде воды и сиропа было поровну?
Источник
задаÑи на пеÑеливаниеÐадаÑи на пеÑеливание водÑ
ÐÑи пÑоведении олимпиад по маÑемаÑике, оÑобенно в 6-Ñ ÐºÐ»Ð°ÑÑÐ°Ñ , воÑÑÑÐµÐ±Ð¾Ð²Ð°Ð½Ñ Ð·Ð°Ð´Ð°Ñи на пеÑеливание Ð²Ð¾Ð´Ñ Ð¸ дÑÑÐ³Ð¸Ñ Ð¶Ð¸Ð´ÐºÐ¾ÑÑей. Рданной ÑÑаÑÑе пÑиведен ÑÐ°Ð·Ð±Ð¾Ñ Ð½ÐµÑколÑÐºÐ¸Ñ Ð·Ð°Ð´Ð°Ñ Ñ Ð¸ÑполÑзованием маÑÑиÑ.
1. Ðожно ли Ð¸Ð¼ÐµÑ Ð´Ð²Ð° ÑоÑÑда емкоÑÑÑÑ 3 и 5 л, набÑаÑÑ Ð¸Ð· водопÑоводного кÑана 4 л водÑ?
РеÑение
1. ÐабиÑаем 5 лиÑÑов в пÑÑилиÑÑовÑй ÑоÑÑд,
2. Ðз пÑÑилиÑÑового ÑоÑÑда вливаем в ÑÑÐµÑ Ð»Ð¸ÑÑовÑй ÑÑи лиÑÑа, в пÑÑилиÑÑовом оÑÑаÑÑÑÑ Ð´Ð²Ð° лиÑÑа
3. Ðз ÑÑÐµÑ Ð»Ð¸ÑÑовой вÑливаем вÑе и оÑÑаеÑÑÑ 2 лиÑÑа в пÑÑилиÑÑовой.
4. Ðз пÑÑилиÑÑовой пеÑеливаем вÑе в ÑÑÐµÑ Ð»Ð¸ÑÑовÑÑ. РпÑÑилиÑÑовой 0 лиÑÑов в ÑÑÐµÑ Ð»Ð¸ÑÑовой 2 лиÑÑа.
5. ÐабиÑаем в пÑÑилиÑÑовÑÑ Ð¿ÑÑÑ Ð»Ð¸ÑÑов.
6. Ðз пÑÑилиÑÑовой пеÑеливаем лиÑÑ Ð² ÑÑÐµÑ Ð»Ð¸ÑÑовÑÑ.
7. ÐÑливаем 3 лиÑÑа из ÑÑÐµÑ Ð»Ð¸ÑÑовой и оÑÑаеÑÑÑ 4 лиÑÑа в пÑÑилиÑÑовой.
ÐаннÑй алгоÑиÑм ÑеÑÐµÐ½Ð¸Ñ Ð·Ð°Ð´Ð°Ñи можно изобÑазиÑÑ Ð² виде ÑаблиÑÑ
| 0 лиÑÑов | 0 лиÑÑов | 3 лиÑÑа | 0 лиÑÑов | 2 лиÑÑа | 2 лиÑÑа | 3 лиÑÑа | 0 лиÑÑов |
| 0 лиÑÑов | 5 лиÑÑов | 2 лиÑÑа | 2 лиÑÑа | 0 лиÑÑов | 5 лиÑÑа | 4 лиÑÑа | 4 лиÑÑа |
2. Ðак ÑазделиÑÑ Ð¿Ð¾ÑÐ¾Ð²Ð½Ñ Ð¼ÐµÐ¶Ð´Ñ Ð´Ð²ÑÐ¼Ñ ÑемÑÑми 12 л кваÑа , коÑоÑÑй Ð½Ð°Ñ Ð¾Ð´Ð¸ÑÑÑ Ð² 12-Ñи лиÑÑовом ÑоÑÑде, Ð´Ð»Ñ ÑÑого Ñ Ð²Ð°Ñ ÐµÑÑÑ 2 ÑоÑÑда 8-ми лиÑÑовÑй и 3-ÐµÑ Ð»Ð¸ÑÑовÑй.
РеÑение задаÑи на пеÑеливание
| 12л емкоÑÑÑ | 12л | 9л | 9л | 6л | 6л |
| 8л емкоÑÑÑ | 0л | 0л | 3л | 3л | 6л |
| 3л емкоÑÑÑ | 0л | 3л | 0л | 3л | 0л |
3. Ðидон емкоÑÑÑÑ 10 л наполнен кеÑоÑином. ÐмеÑÑÑÑ Ð¿ÑÑÑÑе ÑоÑÑÐ´Ñ Ð² 7 и 2 лиÑÑа. Ðак ÑазлиÑÑ ÐºÐµÑоÑин в два ÑоÑÑда по 5 лиÑÑов?
РеÑение
| 10л емкоÑÑÑ | 10л | 3л | 3л | 5л |
| 2л емкоÑÑÑ | 0л | 0л | 2л | 0л |
| 7л емкоÑÑÑ | 0л | 7л | 5л | 5л |
4. ÐÑÑÑ 2 ÑоÑÑда. ÐмкоÑÑÑ Ð¾Ð´Ð½Ð¾Ð³Ð¾ 9 л дÑÑгого 4л. Ðак Ñ Ð¸Ñ Ð¿Ð¾Ð¼Ð¾ÑÑÑ Ð¸Ð· бака набÑаÑÑ 6л водÑ? ÐÐ¾Ð´Ñ Ð¼Ð¾Ð¶Ð½Ð¾ ÑливаÑÑ Ð¾Ð±ÑаÑно в бак.
РеÑение
| 9л емкоÑÑÑ | 0л | 9л | 5л | 5л | 1л | 1л | 0л | 9л | 6л |
| 4лемкоÑÑÑ | 0л | 0л | 4л | 0л | 4л | 0л | 1л | 1л | 1л |
5. Ðак, Ð¸Ð¼ÐµÑ Ð´Ð²Ð° ÑоÑÑда емкоÑÑÑÑ 6л и 9л, набÑаÑÑ 3л водÑ?
РеÑение
| 0л | 0л | 5л | 0л | 4л | 4л | 5л | 0л | 5л | 0л |
| 0л | 9л | 4л | 4л | 0л | 9л | 8л | 8л | 3л | 3л |
ÐамеÑание. ÐодÑобное ÑеÑение пÑиведено ÑолÑко в пеÑвом ÑлÑÑае. РпоÑÐ»ÐµÐ´Ð½Ð¸Ñ Ð¿ÑÐ¸Ð²ÐµÐ´ÐµÐ½Ñ ÑолÑко ÑаблиÑÑ. ÐадеÑÑÑ Ñ Ð¿Ð¾Ð¼Ð¾ÑÑÑ Ð¸Ñ Ð»ÐµÐ³ÐºÐ¾ воÑÑÑанавливаеÑÑÑ ÑеÑение Ð·Ð°Ð´Ð°Ñ Ð½Ð° пеÑеливание.
Источник