Задачи с сосудами огэ

ОГЭ 9 класс

№22 Задачи на проценты, сплавы и смеси

1. Задание 22

Смешав 60%−ый и 30%−ый растворы кислоты и добавив 5 кг чистой воды, получили 20%−ый раствор кислоты. Если бы вместо 5 кг воды добавили 5 кг 90%−го раствора той же кислоты, то получили бы 70%−ый раствор кислоты. Сколько килограммов 60%−го раствора использовали для получения смеси?

Решение.

Пусть кг и кг – массы первого и второго растворов, взятые при смешивании. Тогда кг – масса полученного раствора, содержащего кг кислоты. Концентрация кислоты в полученном растворе 20 %, откуда

Решим систему двух полученных уравнений:

Замечание. Решение можно сделать несколько проще, если заметить, что из полученных уравнений следует: , откуда . Первое уравнение принимает вид ,откуда .

Ответ: 2 кг.

2. Задание 22

Имеется два сплава с разным содержанием меди: в первом содержится 60%, а во втором – 45% меди. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 55% меди?

Решение.

Пусть первый сплав взят в количестве x кг, тогда он будет содержать 0,6x кг меди, а второй сплав взят в количестве y кг, тогда он будет содержать 0,45y кг меди. Соединив два этих сплава, получим сплав меди массой x + y, по условию задачи он должен содержать 0,55(x + y) меди. Следовательно, можно составить уравнение:

Выразим x через y:

Следовательно, отношение, в котором нужно взять сплавы: Ответ:

3. Задание 22

При смешивании первого раствора кислоты, концентрация которого 20%, и второго раствора этой же кислоты, концентрация которого 50%, получили раствор, содержащий 30% кислоты. В каком отношении были взяты первый и второй растворы?

Решение.

Пусть первый раствор взят в количестве грамм, тогда он содержит 0,2 грамм чистой кислоты, а второй раствор взят в количестве грамм, тогда он содержит 0,5 грамм чистой кислоты. При смешивании двух этих растворов получится раствор массой + грамм, по условию задачи, он содержит 0,3( + ) чистой кислоты. Следовательно, можно составить уравнение:

Выразим через : Следовательно, отношение, в котором были взяты растворы: Ответ:

4. Задание 22

На пост главы администрации города претендовало три кандидата: Журавлёв, Зайцев, Иванов. Во время выборов за Иванова было отдано в 2 раза больше голосов, чем за Журавлёва, а за Зайцева – в 3 раза больше, чем за Журавлёва и Иванова вместе. Сколько процентов голосов было отдано за победителя?

Решение.

Заметим, что победителем на выборах окажется Зайцев. Пусть количество голосов, отданных за Зайцева равно . Тогда за Журавлёва и Иванова вместе отдали . Процент голосов, отданных за Зайцева Ответ: 75%.

5. Задание 22

Первый сплав содержит 5% меди, второй – 13% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 4 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 10% меди. Найдите массу третьего сплава.

Решение.

Пусть масса первого сплава x кг. Тогда масса второго сплава (x + 4) кг, а третьего – (2x + 4) кг. В первом сплаве содержится 0,05x кг меди, а во втором – 0,13(x + 4) кг. Поскольку в третьем сплаве содержится 0,1(2x + 4) кг меди, составим и решим уравнение:

Откуда

Масса третьего сплава равна 16 кг.

Ответ:16 кг.

6. Задание 22

Свежие фрукты содержат 80% воды, а высушенные – 28%. Сколько сухих фруктов получится из 288 кг свежих фруктов?

Решение.

Свежие фрукты содержат 20% питательного вещества, а высушенные – 72%. В 288 кг свежих фруктов содержится 0,2 · 288 = 57,6 кг питательного вещества. Такое количество питательного вещества будет содержаться в кг высушенных фруктов. Ответ: 80.

7. Задание 22

Смешали некоторое количество 10-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 12-процентного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение.

Пусть взяли г 10-процентного раствора, тогда взяли и г 12-процентного раствора. Концентрация раствора – масса вещества, разделённая на массу всего раствора. В первом растворе содержится г, а во втором – г Концентрация получившегося раствора равна или 11%. Ответ: 11%.

8. Задание 22

Свежие фрукты содержат 86 % воды, а высушенные – 23 %. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 72 кг высушенных фруктов?

Решение.

Заметим, что сухая часть свежих фруктов составляет 14%, а высушенных – 77%. Значит, для приготовления 72 кг высушенных фруктов требуется кг свежих. Ответ: 396 кг.

9. Задание 22

Имеются два сосуда, содержащие 10 кг и 16 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 55% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 61% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?

Решение.

Пусть концентрация первого раствора – х, концентрация второго раствора – y. Составим систему уравнений согласно условию задачи:

Таким образом, в первом растворе содержится килограмма кислоты.

Ответ: 8,7.

10. Задание 22

Имеются два сосуда, содержащие 4 кг и 16 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 57% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 60% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?

Решение.

Пусть концентрация первого раствора – х, концентрация второго раствора – y. Составим систему уравнений согласно условию задачи:

Таким образом, в первом растворе содержится кг кислоты Ответ: 2,6

11. Задание 22

Имеются два сосуда, содержащие 40 кг и 30 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий 73% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 72% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится во втором растворе?

Решение.

Пусть концентрация первого раствора – х, концентрация второго раствора – y. Составим систему уравнений согласно условию задачи:

Таким образом, во втором растворе содержится кг кислоты. Ответ: 19,5

12. Задание 22

Имеются два сосуда, содержащие 40 кг и 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 33% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 47% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?

Решение.

Пусть концентрация первого раствора – х, концентрация второго раствора – y. Составим систему уравнений согласно условию задачи:

Таким образом, во первом растворе содержится кг кислоты. Ответ: 2.

13. Задание 22

Имеются два сосуда, содержащие 12 кг и 8 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий 65% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 60% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится во втором растворе?

Решение.

Пусть концентрация первого раствора – х, концентрация второго раствора – y. Составим систему уравнений согласно условию задачи:

Таким образом, во втором растворе содержится кг кислоты. Ответ: 2,8

14. Задание 22

Имеются два сосуда, содержащие 24 кг и 26 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 39% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 40% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?

Решение.

Пусть концентрация первого раствора – х, концентрация второго раствора – y. Составим систему уравнений согласно условию задачи:

Таким образом, в первом растворе содержится кг кислоты. Ответ: 15,6.

15. Задание 22

Имеются два сосуда, содержащие 30 кг и 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий 81% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 83% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится во втором растворе?

Решение.

Пусть концентрация первого раствора – х, концентрация второго раствора – y. Составим систему уравнений согласно условию задачи:

Таким образом, во втором растворе содержится кг кислоты. Ответ: 18,6

16. Задание 22

Имеются два сосуда, содержащие 22 кг и 18 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 32% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 30% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?

Решение.

Пусть концентрация первого раствора – х, концентрация второго раствора – y. Составим систему уравнений согласно условию задачи:

Таким образом, в первом растворе содержится кг кислоты. Ответ: 11.

17. Задание 22

Имеются два сосуда, содержащие 30 кг и 42 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий 40% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 37% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится во втором растворе?

Решение.

Пусть концентрация первого раствора – х, концентрация второго раствора – y. Составим систему уравнений согласно условию задачи:

Таким образом, во втором растворе содержится кг кислоты Ответ: 23,1

18. Задание 22

Имеются два сосуда, содержащие 48 кг и 42 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий 42% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 40% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится во втором растворе?

Решение.

Пусть концентрация первого раствора – х, концентрация второго раствора – y. Составим систему уравнений согласно условию задачи:

Таким образом, во втором растворе содержится килограмма кислоты

Ответ: 4,2

19. Задание 22

Свежие фрукты содержат 88 % воды, а высушенные – 30 %. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 6 кг высушенных фруктов?

Решение.

Заметим, что сухая часть свежих фруктов составляет 12%, а высушенных – 70%. Значит, для приготовления 6 кг высушенных фруктов требуется кг свежих.

Ответ: 35 кг.

20. Задание 22

Смешали некоторое количество 21-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 95-процентного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение.

Пусть взяли г 21-процентного раствора, тогда взяли и г 95-процентного раствора. Концентрация раствора – масса вещества, разделённая на массу всего раствора. В первом растворе содержится г, а во втором – г Концентрация получившегося раствора равна или 58%.

Ответ: 58.

21. Задание 22

Свежие фрукты содержат 93% воды, а высушенные – 16%. Сколько сухих фруктов получится из 252 кг свежих фруктов?

Решение.

Свежие фрукты содержат 7% питательного вещества, а высушенные – 84%. В 252 кг свежих фруктов содержится 0,07 · 252 = 17,64 кг питательного вещества. Такое количество питательного вещества будет содержаться в кг высушенных фруктов.

Ответ: 21.

Источник

1. Вспоминай формулы по каждой теме

2. Решай новые задачи каждый день

3. Вдумчиво разбирай решения

Во сколько раз больше должен быть объём (20)-процентного раствора кислоты, чем объём (14)-процентного раствора той же кислоты, чтобы при смешивании получить (18)-процентный раствор?

Пусть объём (20)-процентного раствора кислоты равен (x) литров, а объём (14)-процентного раствора равен (y) литров, тогда требуется найти значение величины (dfrac{x}{y}) при условии [0,2x + 0,14y = 0,18(x + y) qquadLeftrightarrowqquad dfrac{x}{y} = 2,,] таким образом, ответ: (2).

Ответ: 2

Половину объёма огурца когда-то занимала вода, потом этот огурец подсох и вода стала занимать лишь (20%) объёма огурца. Во сколько раз уменьшился объём этого огурца?

Пусть первоначальный объём огурца составлял (V_0) литров, а конечный объём (V_1) литров. Так как объём сухого вещества не менялся, то [0,5V_0 = 0,8V_1,,] откуда находим [dfrac{V_0}{V_1} = 1,6,,] следовательно, объём огурца уменьшился в (1,6) раз.

Ответ: 1,6

Азат смешал (10)-процентный, (20)-процентный и (30)-процентный растворы одной и той же кислоты и получил (2) литра (20)-процентного раствора. На сколько литров больше было смешано (10)-процентного раствора, чем (30)-процентного?

Пусть у Азата было (x) литров (10)-процентного раствора, (y) литров (20)-процентного раствора и (z) литров (30)-процентного раствора, тогда [0,1x + 0,2y + 0,3z = 0,2(x + y + z)qquadLeftrightarrowqquad 0,1z = 0,1x qquadLeftrightarrowqquad x = z,,] то есть (10)-процентного раствора было столько же, сколько и (30)-процентного, следовательно, ответ: (0).

Ответ: 0

В лаборатории смешали (10)-процентный, (20)-процентный и (30)-процентный растворы одной и той же кислоты, в результате чего было получено (3) литра (18)-процентной кислоты. Какой объём смеси получился бы, если бы вместо этого смешали (10)-процентную кислоту в объёме, в два раза большем, чем её было изначально, с (20)-процентной кислотой, взятой в том же объёме, что и изначально? Ответ дайте в литрах.

Пусть изначально было (x) литров (10)-процентного раствора, (y) литров (20)-процентного раствора и (z) литров (30)-процентного раствора, тогда искомая величина есть (2x + y). При этом [begin{cases} 0,1x + 0,2y + 0,3z = 0,18(x + y + z)\ x + y + z = 3 end{cases} quadLeftrightarrowquad begin{cases} 0,1x + 0,2y + 0,3(3 – x – y) = 0,54\ z = 3 – x – y end{cases}] из первого уравнения последней системы находим: [2x + y = 3,6,.] Таким образом, ответ: (3,6).

Ответ: 3,6

У Риты было два наполовину заполненных (10)-литровых ведра: одно с краской, а другое с водой. Рита взяла и перелила из ведра с водой в ведро с краской ровно (1) литр (при помощи ковша объёмом (1) литр). Затем, немного подумав, она перелила из ведра, которое изначально было с краской, литр в ведро с водой. Вот только она не помнит, перемешивала ли она содержимое ведра, которое изначально было с краской, прежде чем перелить из него литр. Найдите разность между концентрацией воды в ведре с краской и концентрацией краски в ведре с водой.

Попробуем ответить на вопрос, откуда в ведре с краской вода: это вода, которая была перелита в первый раз, но не ушла при втором переливании. При втором переливании именно её место в ковше заняла краска.

Попробуем ответить на вопрос, откуда в ведре с водой краска: это краска, которая была перелита во второй раз, то есть это та самая краска, которая заняла место навсегда оставшейся в ведре с краской воды, следовательно, объём краски в ведре с водой равен объёму воды в ведре с краской. Так как объёмы содержимого вёдер одинаковы, то и соответствующие концентрации одинаковы, тогда ответ: (0).

Ответ: 0

Смешав (25)-процентный и (95)-процентный растворы кислоты и добавив (20) кг чистой воды, получили (40)-процентный раствор кислоты. Если бы вместо (20) кг воды добавили (20) кг (30)-процентного раствора той же кислоты, то получили бы (50)-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов (25)-процентного раствора использовали для получения смеси?

Заметим, что вода – это раствор, не содержащий кислоту, то есть содержащий (0%) кислоты.

Пусть (x) кг – масса раствора с (25)-процентным содержанием кислоты, (y) кг – масса раствора с (95)-процентным содержанием кислоты. Составим схему, описывающую получение (40)-процентного раствора:

Заметим, что количество кислоты во всех трех растворах равно количеству кислоты в получившемся растворе. Найдем количество кислоты в первом растворе.

Если раствор весит (x) кг, а в нем (25%) кислоты, то в килограммах в нем (dfrac{25}{100}cdot x) кислоты.

Таким же образом можно посчитать количество кислоты в остальных растворах. Получим первое уравнение:

[dfrac{25}{100}cdot x+dfrac{95}{100}cdot y+ dfrac{0}{100}cdot 20=dfrac{40}{100}cdot (x+y+20)]

Аналогично составим схему, описывающую получение (50)-процентного раствора:

Значит, уравнение, описывающее эту ситуацию, будет выглядеть так:

[dfrac{25}{100}cdot x+dfrac{95}{100}cdot y+ dfrac{30}{100}cdot 20=dfrac{50}{100}cdot (x+y+20)]

Таким образом, решив систему из полученных двух уравнений, найдем (x). Для этого можно умножить оба уравнения на (100), чтобы сделать их проще на вид:

[begin{cases} 25x+95y+0=40(x+y+20)\ 25x+95y+30cdot 20=50(x+y+20) end{cases}]

Вычтем из второго уравнения первое и получим новую систему:

[begin{aligned} &begin{cases} 25x+95y=40(x+y+20)\ 30cdot 20=10(x+y+20) end{cases} quad Rightarrow quad begin{cases} 5x+19y=8(x+y+20)\ y=40-x end{cases} quad Rightarrow \[2ex] Rightarrow quad &begin{cases} 3x-11(40-x)+160=0\ y=40-x end{cases} quad Rightarrow quad begin{cases} x=20\y=20end{cases} end{aligned}]

Таким образом, раствора с (25%) кислоты было (20) кг.

Ответ: 20

Смешав (30)-процентный и (90)-процентный растворы кислоты и добавив (10) кг чистой воды, получили (42)-процентный раствор кислоты. Если бы вместо (10) кг воды добавили (10) кг (50)-процентного раствора той же кислоты, то получили бы (52)-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов (30)-процентного раствора использовали для получения смеси?

Заметим, что вода – это раствор, не содержащий кислоту, то есть содержащий (0%) кислоты.

Пусть (x) кг – масса раствора с (30)-процентным содержанием кислоты, (y) кг – масса раствора с (90)-процентным содержанием кислоты. Составим схему, описывающую получение (42)-процентного раствора:

Заметим, что количество кислоты во всех трех растворах равно количеству кислоты в получившемся растворе. Найдем количество кислоты в первом растворе.

Если раствор весит (x) кг, а в нем (30%) кислоты, то в килограммах в нем (dfrac{30}{100}cdot x) кислоты.

Таким же образом можно посчитать количество кислоты в остальных растворах. Получим первое уравнение:

[dfrac{30}{100}cdot x+dfrac{90}{100}cdot y+ dfrac{0}{100}cdot 10=dfrac{42}{100}cdot (x+y+10)]

Аналогично составим схему, описывающую получение (50)-процентного раствора:

Значит, уравнение, описывающее эту ситуацию, будет выглядеть так:

[dfrac{30}{100}cdot x+dfrac{90}{100}cdot y+ dfrac{50}{100}cdot 10=dfrac{52}{100}cdot (x+y+10)]

Таким образом, решив систему из полученных двух уравнений, найдем (x). Для этого можно умножить оба уравнения на (100), чтобы сделать их проще на вид:

[begin{cases} 30x+90y+0=42(x+y+10)\ 30x+90y+50cdot 10=52(x+y+10) end{cases}]

Данная система равносильна системе

[begin{cases} 4y-x=35\ 19y-11x=10 end{cases} quad Rightarrow quad begin{cases} x=25\y=15 end{cases}]

Таким образом, раствора с (30%) кислоты было (25) кг.

Ответ: 25

Максим Олегович

№15 с модулем за 3 минуты. ЕГЭ 2021 по профильной математике!

Ставьте напоминания и обязательно приходите на стрим!

Математика: №15 с модулем за 3 минуты

Источник