Задачи сосуды с водой радиус
В.Л.БУЛЫНИН,
ЦО № 17 ЦАО, г. Москва
Согласно школьной программе, законы
гидростатики изучаются лишь в 7-м классе,
возвращение к их изучению и закреплению в
дальнейшем не предусмотрено. Тем не менее задачи
на гидростатику относятся к весьма трудным и,
если в старших классах не было решено достаточно
подобных задач, то на вступительных экзаменах в
технические вузы ученик может столкнуться с
очень серьёзными, а то и непреодолимыми
трудностями. Предлагаемая подборка задач имеет
своей целью дать школьнику и преподавателю
физики представление об уровне сложности
материала по этой теме.
Задача 1 (МГТУ им. Н.Э.Баумана).
Плотность раствора соли с глубиной меняется по
закону = 0 + Ah, где 0 = 1 г/см3, А =
0,01 г/см4. В раствор опущены два шарика,
связанные нитью такой длины, что расстояние
между центрами шариков не может превышать L = 5 см.
Объём каждого шарика V = 1 см3,
массы m1 = 1,2 г и m2 = 1,4 г.
На какой глубине находится каждый шарик?
Решение.
В силу симметрии шариков относительно
горизонтальной плоскости, пороходящей через их
центры, сила Архимеда для каждого шарика равна gV, где – плотность жидкости на
уровне центра шарика. Запишем условие равновесия
для каждого из шариков и сложим уравнения:
где
Объединяя все уравнения, находим:
h2 = h1 + L.
Подставляя числовые данные, получаем:
h1 = 27,5 см; h2 = 32,5 см.
Задача 2 (МГТУ им. Н.Э.Баумана).
В водоёме укреплена вертикальная труба с поршнем
так, что нижний конец её погружён в воду. Поршень,
лежавший вначале на поверхности воды, медленно
поднимают на высоту H = 15 м. Какую
работу пришлось на это затратить, если площадь
поршня 1 дм2, атмосферное давление p0 = 105 Па?
Массой поршня пренебречь.
Решение. Сила, которую надо
прикладывать к поршню, линейно возрастает от 0 до Fmax = pS.
Зависимость этой силы от высоты столба поднятой
воды равна F(h) = ghS, где – плотность воды, h – высота столба
поднятой воды, S – площадь поршня.
Максимально возможная высота столба
воды, поднятой таким способом, h1 = 10 м,
при этом gh1 = p0.
График зависимости F = F(h)
изображён на рисунке. Очевидно, что работа по
подъёму поршня равна площади трапеции под
графиком F(h):
Подставив числовые данные, получаем A = 104 Дж.
Задача 3. Льдина площадью
1 м2 и толщиной 0,4 м плавает в воде.
Какую минимальную работу надо совершить, чтобы
полностью погрузить льдину в воду? Плотность
льда 900 кг/м3, g = 10 м/с2.
Решение. Пусть в исходном
состоянии h – глубина погружения плавающей
льдины. Запишем условие равновесия и следствия
из него:
где в,
л –
плотности воды и льда соответственно, Vпогр
– объём погружённой части льдины, V – её
полный объём, Н – толщина льдины, h –
толщина погружённой части.
При погружении льдины сила нажима
линейно возрастает от нуля до Fmax,
совершая работу
Задача 4. Бетонная однородная
свая массой m лежит на дне водоёма глубиной h,
большей, чем длины сваи l. Привязав трос к
одному концу сваи, её медленно вытаскивают из
воды так, что центр тяжести сваи поднимается на
высоту H от поверхности воды (H > l).
Какая работа совершается при подъёме сваи?
Плотность бетона в n раз больше плотности
воды. Силами сопротивления пренебречь.
Решение
1-й способ. Разобьём работу на три
этапа:
Подъём верхнего конца сваи до
поверхности воды:
– центр тяжести поднимается на высоту
– сила натяжения троса постоянна и
равна mg – FA;
– работа (плотность бетона, по условию, в n
раз больше плотности воды).
Подъём сваи на высоту l – такую,
чтобы нижний конец сваи касался поверхности
воды:
– сила натяжения троса линейно
возрастает от mg – FA до mg, и
работа этой силы равна
Наконец, подъём центра тяжести на
высоту H над поверхностью воды:
– сила натяжения троса постоянна и
равна mg;
– работа (на высоту центр тяжести уже был поднят на
предыдущем этапе).
Общая работа A = A1 + A2 + A3:
2-й способ. Применим закон
сохранения энергии. Работа равна изменению
энергии системы свая–вода. Потенциальная
энергия сваи возросла на mg(H + h).
Потенциальная энергия воды уменьшилась на – вода из верхнего
слоя водоёма опустилась на дно и заняла объём,
прежде занятый сваей. Отсюда:
Задача 5 (МГТУ им. Н.Э.Баумана). В
сосуде находятся три несмешивающиеся жидкости
плотностями (сверху вниз) , 2 и 3. Толщина этих слоёв
Н/3, H и H соответственно. На дне
сосуда лежит стержень из материала плотностью 6, массой m,
длиной H. Какую работу надо совершить,
поднимая стержень за один конец вертикально,
чтобы его верхний торец коснулся поверхности
жидкости плотностью ? Толщиной стержня пренебречь. Трение
отсутствует.
Решение
Пусть V – объём стержня, A1
– работа по подъёму стержня в жидкости
плотностью 3 в
вертикальное положение (подъём центра масс на
высоту H/2):
При перемещении стержня из жидкости
плотностью 3 до
верхнего уровня жидкости плотностью 2 сила линейно изменяется
от При этом
центр тяжести стержня перемещается на высоту H.
Следовательно, работа равна:
A3 – работа по подъёму части
стержня длиной
внутри жидкости плотностью 2 (при этом нижний конец стержня и
соответственно центр тяжести этой части стержня
поднимается на ):
A4 – работа по перемещению
части стержня длиной из жидкости плотностью 2 в жидкость плотностью :
Полная работа равна:
A = A1 + A2 + A3 + A4
=
где –
масса стержня.
Задача 6. Акселерометр
представляет собой изогнутую под прямым углом
трубку, заполненную маслом. Трубка располагается
в вертикальной плоскости, угол При движении трубки в
горизонтальном направлении с ускорением a
уровни масла в коленах трубки соответственно
равны h1 = 8 см и h2 =
12 см. Найдите величину ускорения a.
Решение
Рассмотрим сосуд с жидкостью
(аквариум), который движется в горизонтальном
направлении с ускорением a. При
таком движении поверхность жидкости составляет
угол с
горизонтальной плоскостью, такой что
Такой же перепад высот имеет и
жидкость в трубке акселерометра, движущегося с
тем же ускорением. Получаем l = h2 + h1,
т.к., по условию, = 45°.
Задача 7 (НГУ). Вертикальный
цилиндрический сосуд радиусом R, частично
заполненный жидкостью, вращается вместе с
жидкостью вокруг своей оси.
К боковой стенке сосуда на нити длиной l
привязан воздушный шарик радиусом r; во
время вращения нить образует со стенкой угол . Найдите угловую
скорость вращения сосуда.
Решение
Задача 8 (МГТУ им. Н.Э.Баумана).
Цилиндрический сосуд с жидкостью плотностью вращается с
постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси ОО1.
Внутри сосуда к оси OO1 в точке A
прикреплён тонкий горизонтальный стержень AB,
по которому без трения может скользить муфта в
виде шара радиусом r. Шар связан с концом A
стержня пружиной жёсткостью k, длина которой
в нерастянутом состоянии равна L0.
Определите расстояние до центра шара от оси
вращения, если плотность материала шара в четыре
раза меньше плотности жидкости.
Решение
Направим ось X по направлению
стержня AB, а ось Y по вертикальной оси OO1.
По условию задачи, перемещение шара возможно
лишь вдоль стержня. Так как плотность шара меньше
плотности жидкости, составляющая силы Архимеда
вдоль оси X больше составляющей силы mgэфф,
и шар будет вытесняться жидкостью к оси вращения,
сжимая пружину. Исходное положение центра шара L0 + r.
Пусть во время вращения центр шара находится на
расстоянии x от оси, при этом пружина сжата
на величину L0 + r – x.
Уравнение движения шара массой m по
окружности радиусом x с угловой скоростью имеет вид m2x = Fц,
где сила Fц – результат сложения
горизонтальной составляющей силы Архимеда и силы упругости
сжатой пружины: Fупр = k(L
+ r – x).
Если –
плотность материала шара, то
Отсюда получаем:
По условию, В итоге получаем ответ:
Задача 9 (НГУ). Цилиндрический
космический корабль радиусом R вращается
вокруг своей оси с угловой скоростью . Бассейн в корабле имеет
глубину H, а дном бассейна служит боковая
стенка корабля. Определите плотность плавающей в
бассейне палочки длиной l < H,
если из воды выступает её верхняя часть длиной .
Решение
Во вращающейся неинерциальной системе
отсчёта роль силы тяжести играет центробежная
сила инерции Fц = m2r, где r –
расстояние элемента массы m от оси вращения.
Центр масс погружённой части палочки находится
от оси вращения на расстоянии
Сила Архимеда, действующая на
погружённую часть палочки длиной l – , равна FA
= ж2rц(l
– )S, где ж – плотность
жидкости (воды), S – площадь поперечного
сечения палочки.
Центр масс всей палочки находится от
оси вращения на расстоянии
Условие плавания палочки: P = FA,
где P – вес палочки.
где –
плотность палочки;
Приравняв P и FА,
находим плотность палочки:
Вячеслав Леонидович Булынин окончил
физический факультет Ленинградского
государственного университета в 1964 г. и по 1992
г. работал в научно-исследовательских институтах
в области прикладной сверхпроводимости. С
1993 г. преподаёт в школе физику, астрономию,
математику; педагогический стаж 15 лет. Учитель
высшей квалификационной категории, методист ЦО
№ 17. Автор двух пособий по физике, изданных
«Континентом-Пресс» в 2004 г.: «Физика. Тесты и
задачи» и «Физика. Пособие для подготовки к
государственному экзамену». Женат, имеет двух
дочерей.
Источник
Из-за перепадов высот реки имеют разные глубины, что затрудняет или даже делает невозможным движение по ним судов. Поэтому строят шлюзы, которые рассчитывают по принципу сообщающихся сосудов. Формулы, используемые для вычислений, были получены в результате теоретического анализа, а после подтверждены экспериментально. Эти правила применяют при строении фонтанов, гидравлических прессов, плотин и различных устройств.
Общие сведения
В древние времена перед человечеством возникла проблема доставки воды в свои жилища. Так появились акведуки, а после и водопроводные трубы, канализация. В те времена механизмы ещё не были придуманы, поэтому задача решалась с помощью природных сил. Суть изобретений заключалась в организации самотёка жидкости за счёт изменения высот желобов и труб.
Использование таких систем хоть и позволяло справляться с поставленной задачей, но приносило определённые неудобства. Работа трубопроводов заключалась в использовании свойств жидкости перетекать из одного места в другое за счёт изменения оказываемого давления.
В 1684 году Паскаль продемонстрировал парадокс. Для этого он использовал:
- закрытую бочку с водой;
- герметичную трубку;
- кружку.
Его опыт заключался в следующем. Один конец трубки был вставлен в бочку, а второй вертикально поднят на высоту порядка шести метров. В свободный конец Паскаль вылил кружку воды. Из-за малого диаметра трубки вода стала подниматься, а бочка лопнула. Как оказалось, в середине ёмкости создалось большое давление, привёдшее к её повреждению.
Этот парадокс объясняется законом Архимеда. Он гласит, что на тело, погруженное в воду, действует выталкивающая сила, равная весу жидкости. Значит, тело не сможет плавать в ней. Но это ошибочное рассуждение. Так как на самом деле архимедова сила появляется из-за гидростатического давления, зависящего от размера водяного столба, а не веса воды.
Поэтому тело и может находиться на поверхности резервуара, если его масса будет меньше веса воды. Это возможно, когда резервуар ненамного превышает размеры физического тела. Например, судно не тонет в ограниченном доке, так же как в и открытом океане, несмотря на то что масса воды между плавающим средством и стенами порта может быть меньше, чем вес корабля.
Закон Паскаля описывается формулой давления: P = F / S, где:
- p — давление;
- F — приложенная сила;
- S — площадь поверхности сосуда.
Из выражения следует, что увеличение силы на стенки удерживающие возрастает пропорционально. Давление принято изменять в ньютонах на квадратный метр или в паскалях. Этот закон нашёл применение в тормозных системах, гидравлических прессах.
Условие равновесия
Пусть имеются два сосуда, при этом они могут иметь разную форму и размеры. В нижней части они сообщаются, то есть соединяются с помощью трубки, которая имеет запорный вентиль. Ёмкость, стоящую слева, удобно обозначить цифрой один, соответственно, с правой стороны — два. В первую колбу можно налить жидкость, высота столба которой составляет h1. Её плотность пусть будет равняться p1. Во втором сосуде налито другое вещество с плотностью p и расстоянием от поверхности до дна h2.
Можно предположить, что высоты столбов подобраны так, что при открытии крана движение водного раствора не произойдёт. То есть он не будет перетекать из одной ёмкости в другую. Это важно для рассуждений, так как в другом случае жидкости просто перемешаются. Поэтому пусть растворы находятся в состоянии равновесия. Значит, давление и в первом, и во втором сосудах в нижних точках трубки будет одинаковым.
Действительно, если представить, что вместо крана стоит лёгкая перегородка, то для того, чтобы она осталась на своём месте, давление с её двух сторон должно быть скомпенсировано. Другими словами, в системе должны действовать одинаковые силы.
Так как растворы находятся в равновесии, то можно записать: P1 = P2. Давление можно выразить через плотность и высоту столба. Для рассматриваемого случая оно будет гидростатическим. Определяют его по формуле: p = ρ * g * h, где:
- ρ — плотность искомой жидкости;
- g — ускорение свободного падения;
- h — высота столба.
Полученное равенство справедливо как для первой, так и второй ёмкости. Его можно подставить в равенство равновесия: ρ1 * g * h1 = ρ2 * g * h2. После того как левую и правую часть сократить на g, формула примет вид: ρ1 * h1 = ρ2 * h2. Последнее выражение для сообщающихся сосудов и описывает условие равновесия.
Теперь можно рассмотреть частный случай, когда обе ёмкости заполнены однородной жидкостью. Это означает, что ρ1 = ρ2 = ρ. Условие равновесия примет вид: ρh1 = ρh2. Выражение можно сократить на плотность. Отсюда следует, что h1 = h2. Найденное правило называют математическим действием закона сообщающихся сосудов.
Опираясь на выведенную формулу, можно сформулировать закон словами. Но для этого нужно вспомнить, что такое h1 и h2. По сути, это расстояние от свободной поверхности жидкости, рассчитываемое по вертикали. Отсюда следует определение, что свободные поверхности однородной жидкости в соединённых ёмкостях устанавливаются на одинаковой высоте.
Опыт на сообщение
Чтобы открыть свой закон, Паскалю понадобилось использовать для опытов только два сосуда. Всё дело в том, что, согласно формуле, на установившийся уровень жидкости не влияет форма, размер, масса и другие характеристики. Если они сообщающиеся, то высота столба во всех ёмкостях будет одинаковой.
Для того чтобы самостоятельно убедиться в действии закона, можно провести простой эксперимент. Понадобится взять два любых шприца, наполнить один из них водой и соединить с другим трубочкой. Затем поднять их на любой уровень и убедиться, что водяная линия столбов будет находиться в одной горизонтали. Причём она не изменится даже при наклоне сосудов.
Проведённый опыт не будет называться полным, если не провести эксперимент с разными жидкостями. Так, если налить растворы с отличающейся плотностью, то можно наблюдать, что водяной столб не сможет выровняться.
Например, такое явление особо заметно, если попробовать смешать раствор поваренной соли и воды. Интересно то, что высота столба будет настолько меньше, насколько отличается плотность.
Решение примеров
В школе после рассмотрения темы преподаватель часто предлагает школьникам написать реферат или подготовить небольшое сообщение для видеоурока. В таком докладе, кроме теории, рекомендуется приводить несколько задач. Их решение желательно сопровождать рисунками, чтобы наглядно продемонстрировать в проекте, как работают сообщающиеся сосуды.
Физики обычно демонстрируют полезность явления на следующих двух примерах:
- Труба с площадью сечения S погружена в чашу со ртутью на одну треть. Не изменяя положение нижнего конца трубки, её наклон изменили на угол j. Определить, как поменялась высота. Если принять размер столба ртути за h, то, зная площадь сечения трубки, можно вычислить объём жидкости: V = S * h. Длину, которую занимает жидкость, можно определить так: l = h / cos (j). Значит, объём будет равняться: V1 = S * l = (S * h) / cos (j). Отсюда возможно определить изменение объёма в трубке: ΔV = V1 — V = (S * h) / c o s (j) — S * h. Так как площадь ёмкости равняется: S = π * D2 / 4, то искомая высота составит: Δh = Δ V * S = 4 * S * h * (1 − cos (j) / cos (j) * π * D 2 ).
- Какой площадью нужно изготовить отливной поршень в водяном прессе, чтобы выигрыш был в шесть раз? Площадь большого рычага равна двум метрам. Рассматриваемая система есть не что иное, как гидравлический пресс. То есть это два сообщающихся сосуда. Если принять, что большему поршню S соответствует сил F, а меньшему — S1 и F1, то по закону Паскаля они будут относиться друг к другу как F / S = F1 / S1. Из этого равенства можно выразить искомую площадь: S1 = F1 * S / F. Согласно условию: F1 / F = 6. Значит, расчётная формула примет вид: S = S * n = 2 * 6 = 12.
Даже не заглядывая в Википедию, можно привести множество примеров использования свойства как в быту, так и в природе. Например, перелив в ванной, поилка для домашних птиц, различные устройства полива, чайник, фонтаны, шлюзы. В работе всех этих вещей используется закон для сообщающихся сосудов. Но самый простой пример — это применяемый в строительстве водяной уровень. Причём его конструкция настолько проста, что повторить её сможет любой даже в домашних условиях.
Источник
1
В полый куб с ребром a налита доверху жидкость плотностью ρ. Определить силы, действующие на грани куба.
Ответ
На дно действует сила ρga3, на боковую грань 1/2ρga3.
2
Сосуд, имеющий форму усеченного конуса с приставным дном, опущен в воду. Если в сосуд налить 200 г воды, то дно оторвется. Отпадет ли дно, если на него поставить гирю 200 г? налить 200 г масла? налить 200 г ртути?
Ответ
Если сосуд сужается кверху, то гиря и ртуть не оторвут дно, а масло оторвет. Если сосуд сужается книзу, то наоборот.
3
В сосуд с водой вставлена трубка сечением S = 2 см2. В трубку налили 72 г масла (ρм = 900 кг/м3). Найти разность уровней масла и воды.
Ответ и решение
Ответ: Δh = 4 см.
Согласно условию равновесия неоднородных жидкостей в сообщающихся сосудах:
.
Или:
.
Откуда
.(1)
Чтобы найти H, запишем выражение для массы масла в трубке:
,
откуда
.(2)
Окончательно, подставив (2) в (1), получим:
.
4
При подъеме груза массой m = 2 т с помощью гидравлического пресса была затрачена работа A = 40 Дж. При этом малый поршень сделал n = 10 ходов, перемещаясь за один ход на h = 10 см. Во сколько раз площадь большого поршня больше площади малого, если к. п. д. пресса равен 1.
Ответ
5
В сообщающиеся сосуды диаметрами D1, и D2 налита вода. На сколько изменится уровень воды в сосудах, если положить кусок дерева массой m в первый сосуд? во второй? Плотность воды ρ0.
Ответ
В обоих случаях уровень воды увеличивается на
.
6
В колена U-образной трубки налиты вода и спирт, разделенные ртутью. Уровень ртути в обоих коленах одинаков. На высоте 24 см от уровня ртути колена соединены горизонтальной трубкой с краном.
Вначале кран закрыт. Определить высоту столба спирта h2 (ρс = 800 кг/м3), если высота столба воды h1 = 32 см. Что будет, если открыть кран? При каком расположении трубки при открывании крана будет сохраняться равновесие?
Ответ
7
Льдина площадью поперечного сечения S = 1 м2 и высотой H = 0,4 м плавает в воде. Какую работу надо совершить, чтобы полностью погрузить льдину в воду?
Ответ
≈ 7,84 Дж.
8
В стакане плавает кусок льда. Изменится ли уровень воды, когда лед растает? Рассмотреть дополнительно случаи: 1) когда во льду находился пузырек воздуха; 2) когда во льду находилась свинцовая пластинка.
Ответ
Лед вытесняет воду, вес которой равен весу льда. Когда лед растает, образуется такое же количество воды, поэтому уровень не изменится.
1) Тоже не изменится, т. к. массой воздуха можно пренебречь.
2) Понизится, т. к. объем воды, которая образуется, когда лед растает, вместе с объемом свинца будет меньше, чем в случае куска чистого льда того же веса.
9
Одна из бутылок наполнена водой, другая — ртутью. Потонет ли бутылка с водой, если ее опустить в воду? Потонет ли бутылка с ртутью, если ее опустить в ртуть?
Ответ
Бутылка с водой потонет, а с ртутью — нет.
10
Прямоугольная коробочка из жести массой m = 76 г с площадью дна S = 38 см2 и высотой H = 6 см плавает в воде. Определить высоту h надводной части коробочки.
Ответ
11
Кастрюля емкостью 2 л доверху наполнена водой. В нее ставят тело объемом 0,5 л и массой 0,6 кг. Сколько воды вытечет из кастрюли?
Ответ
12
Жестяная банка с грузом плавает на поверхности воды, налитой в сосуд. При этом уровень воды в сосуде равен H1. Больше или меньше H1 будет уровень H2, если груз из банки переложить на дно сосуда? Плотность груза больше плотности воды.
Решение
H2 станет меньше H1, поскольку груз будет вытеснять объем воды, равный своему объему, а находясь в жестяной банке, груз вытесняет объем воды, масса которого равна массе груза.
13
В сосуд с вертикальными стенками и площадью дна S налита жидкость с плотностью ρ. На сколько изменится уровень жидкости в сосуде, если в него опустить тело произвольной формы массой m, которое не тонет?
Ответ
14
В U-образной трубке сечением S налита жидкость с плотностью ρ. На сколько поднимется уровень жидкости в правом колене трубки по отношению к первоначальному уровню, если в левое колено опустили тело массой m и плотностью ρ1 < ρ?
Ответ
15
На дне водоема установлена бетонная конструкция грибовидной формы, размеры которой указаны на рисунке.
Глубина реки H. С какой силой F давит конструкция на дно реки? Плотность бетона ρ, воды ρ0.
Решение
Сила давления бетонной конструкции на дно складывается из веса конструкции и разности сил, возникающих в результате гидростатического давления на верхнюю и нижнюю поверхности конструкции:
.
Вес конструкции равен:
.
Сила, возникающая в результате гидростатического давления на верхнюю поверхность конструкции, равна:
.
Сила, возникающая в результате гидростатического давления на нижнюю поверхность конструкции, равна:
.
Таким образом, искомая сила F равна:
.
16
Деревянный кубик лежит на дне сосуда. Всплывет ли он, если в сосуд налить воду (вода не проникает под кубик)?
Решение
Не всплывет, т. к. выталкивающая сила не возникает из-за отсутствия воды под нижней гранью кубика.
17
Круглая дырка площадью S1 в дне сосуда прикрыта без усилия конической пробкой с площадью основания S2. При каком наибольшем значении плотности материала пробки ρ можно добиться ее всплытия, доливая воду в сосуд? Плотность воды ρ0.
Решение
Архимедова сила, действующая на пробку, достигает максимума, когда уровень воды достигнет верха пробки. Пробка всплывет, когда подъемная сила превысит вес пробки. Подъемная сила равна весу воды, объем которой равен объему заштрихованной области пробки на рисунке:
.
Найдем подъемную силу:
.
Найдем вес пробки:
.
Тогда ρ найдем из уравнения:
,
откуда
.
Поскольку малый и большой конус подобны:
,
тогда
.
18
Пустую открытую бутылку погрузили в воду горлышком вниз на некоторую глубину h и опустили. При этом бутылка не всплывала, не опускалась, а находилась в положении равновесия. Почему? Будет ли это равновесие устойчивым? Определить глубину погружения, если емкость бутылки V0 = 0,5 л, масса m = 0,4 кг. Давление атмосферы p0 = 101 кПа, температура постоянная. Объемом стенок бутылки пренебречь.
Решение
Давление воды на глубине h: p1 = p0 + ρgh. Для воздуха в бутылке, сжимающегося по мере погружения бутылки, можно записать закон Бойля-Мариотта: pV0 = p1V1, где V0 и V1 — объем воздуха в бутылке соответственно до и после погружения. Поскольку бутылка находится в равновесии, то ее вес равен архимедовой силе: mg = ρV1g. Таким образом, получаем систему уравнений:
Решив ее, получим:
.
Равновесие будет неустойчивым.
19
Полый шар (внешний радиус R1, внутренний R2), сделанный из материала с плотностью ρ1 плавает на поверхности жидкости с плотностью ρ2. Какова должна быть плотность ρ вещества, которым следует заполнить внутреннюю полость шара, чтобы он находился в безразличном равновесии внутри жидкости?
Решение
Чтобы шар находился в состоянии безразличного равновесия, вес вытесняемой шаром жидкости должен быть равен весу шара:
.
Отсюда находим ρ:
.
20
Полый шар, отлитый из чугуна, плавает в воде, погрузившись ровно наполовину. Найти объем V внутренней полости шара, если масса шара m = 5000 г, а плотность чугуна ρ = 7,8 г/см3.
Решение
Поскольку шар наполовину погружается в воду, то архимедова сила, действующая на шар, равна весу воды, объем которой равен половине объема шара. Объем шара складывается из искомого объема V и объема чугунной части шара, равного m/ρ. Таким образом, можно составить уравнение:
,
где ρ0 плотность воды, откуда:
≈ 9360 см3.
21
На весах уравновешен сосуд с водой. Как изменится равновесие, если в воду целиком опустить подвешенный на нитке брусок размером 5x3x3 см3 так, чтобы он не касался дна? Какой груз и на какую чашку надо положить, чтобы сохранить равновесие?
Решение
В соответствии с 3-м законом Ньютона, на чашку весов с сосудом с водой будет действовать сила, равная по модулю выталкивающей силе, действующей на брусок, но направленной в противоположную сторону. Таким образом, чтобы уравновесить весы, необходимо в противоположную чашку весов положить груз массой m = ρV = 45 г.
22
Алюминиевый и железный сплошные шары уравновешены на рычаге. Нарушится ли равновесие, если шары погрузить в воду? Рассмотреть два случая: а) шары одинаковой массы; б) шары одинакового объема.
Решение
Ответ: а) железный шар перевесит, поскольку на алюминиевый шар действует большая выталкивающая сила, чем на железный, так как объем алюминиевого шара больше объема железного шара такой же массы. б) железный шар перевесит, поскольку момент выталкивающей силы, действующей на алюминиевый шар, больше момента выталкивающей силы, действующей на железный шар, так как плечи рычага в этом случае не равны.
23
Вес куска железа в воде P = 1,67 H. Найти его объем Vж. Плотность железа ρж = 7,8 г/см3.
Решение
Вес куска железа в воде равен разности веса куска железа вне воды и выталкивающей силы, действующей на него в воде:
,
откуда:
= 25,1 см3.
24
Вес тела в воде в три раза меньше, чем в воздухе. Какова плотность материала тела?
Решение
Вес тела в воде равен разности веса тела вне воды и выталкивающей силы, действующей на него в воде:
,
откуда:
,
или:
,
откуда:
= 1500 кг/м3.
25
Брусок дерева плавает в воде. Как изменится глубина погружения бруска в воде, если поверх воды налить масло?
Ответ
Уменьшится, поскольку увеличится давление на нижнюю грань бруска дерева.
26
Некоторое тело плавает на поверхности воды в закрытом сосуде. Как изменится глубина погружения тела, если накачать воздух в сосуд?
Ответ
Ответ: не изменится, если сжимаемость тела такая же, как и у воды. Если сжимаемость тела больше, чем у воды, то глубина увеличится. Если сжимаемость тела меньше, чем у воды, то глубина погружения тела уменьшится.
27
Один конец нити закреплен на дне, а второй прикреплен к пробковому поплавку. При этом 0,75 всего объема поплавка погружено в воду. Определить силу натяжения нити F, если масса поплавка равна 2 кг и плотность пробки 0,25 г/см3. Массой нити пренебречь.
Решение
Сила натяжения нити равна разности архимедовой силы и веса пробки:
,
где ρ0 плотность воды.
Вынесем mg за скобки:
.
Подставив числовые значения, получим F ≈ 40 H.
28
На крюке динамометра висит ведерко. Изменится ли показание динамометра, если ведерко наполнить водой и погрузить в воду?
Ответ
Уменьшится на величину веса воды, вытесняемой стенками и дном ведра.
29
Сосуд, предельно наполненный водой, висит на динамометре. Изменится ли показание динамометра, если в воду опустить гирю, подвешенную на нити, не касаясь дна?
Ответ
Не изменится, поскольку вес воды, которая выльется, равен силе, противодействующей архимедовой силе, действующей на гирю.
30
На рычажных весах уравновешены сосуд с водой и штатив с медной гирей массой m = 100 г (рисунок). Затем гиря, подвешенная на нити, опускается в воду. Как восстановить равновесие весов? Плотность меди ρм = 8,9 г/см3.
31
Тонкая однородная палочка шарнирно укреплена за верхний конец. Нижняя часть палочки погружена в воду, причем равновесие достигается тогда, когда палочка расположена наклонно к поверхности воды и в воде находится половина палочки. Какова плотность материала, из которого сделана палочка?
32
Два шарика радиусами r1 и r2, сделанные из материалов с плотностями ρ1 и ρ2, соединены невесомым стержнем длиной l. Затем вся система помещена в жидкость с плотностью ρ, причем ρ < ρ1 и ρ < ρ2. В какой точке стержня нужно его повесить, для того чтобы система находилась в равновесии при горизонтальном положении стержня?
33
Из сосуда, заполненного водой, выходит труба радиусом r и высотой h (рисунок). Труба закрыта круглой пластиной радиусом R и массой М, которую прижимает к трубе давление воды. С какой силой F нужно подействовать на пластину в точке А, для того чтобы она повернулась, открыв трубу? Сосуд заполнен водой до высоты H. Толщина пластины пренебрежимо мала.
34
На весах уравновешено тело, погруженное в жидкость. Изменится ли показание весов при нагревании жидкости вместе с погруженным в нее телом?
35
Сплошное однородное тело объемом V, плотность материала которого ρ, плавает на границе между тяжелой жидкостью с плотностью ρ1 и более легкой жидкостью с плотностью ρ2. Какая часть объема тела V1 будет находиться в тяжелой жидкости?
36
Кубик из дерева, имеющий сторону 10 см, плавает между маслом и водой, находясь ниже уровня масла на 2,5 см. Нижняя поверхность кубика на 2,5 см ниже поверхности раздела. Какова масса m кубика, если плотность масла 0,8 г/см3? Определить силы давления F1, и F2 на верхнюю и нижнюю грани кубика. Изменится ли глубина погружения кубика в воду при доливании масла?
37
Стальной кубик плотностью 7,8 г/см3 плавает в ртути (плотность 13,6 г/см3). Поверх ртути наливается вода так, что она покрывает кубик тонким слоем. Какова высота H слоя воды? Длина ребра кубика а = 10 см. Определить давление р на нижнюю грань кубика.
38
Кусок пробки весит в воздухе 0,147 Н, кусок свинца 1,1074 Н. Если эти куски связать, а затем подвесить к чашке весов и опустить в керосин, то показания весов будет 0,588 Н. Определить плотность пробки, учитывая, что плотность керосина 0,8 г/см3, а свинца 11,3 г/см3.
39
В сосуд с водой погружается открытый цилиндрический стакан: один раз дном вверх, а другой — дном вниз, на одну и ту же глубину. В каком из этих случаев работа, которую нужно совершить, чтобы погруз?