Зависимость давления от температуры в сосуде

§ 222. Зависимость давления газа от температуры

Начнем с выяснения зависимости давления газа от температуры при условии неизменного объема определенной массы газа. Эти исследования были впервые произведены в 1787 г. Жаком Александром Сезаром Шарлем (1746—1823). Можно воспроизвести эти опыты в упрощенном виде, нагревая газ в большой колбе, соединенной с ртутным манометром (M) в виде узкой изогнутой трубки (рис. 376).

Рис. 376. При опускании колбы в горячую воду присоединенный к колбе ртутный манометр (M) показывает увеличение давления. (T) — термометр

Пренебрежем ничтожным увеличением объема колбы при нагревании и незначительным изменением объема при смещении ртути в узкой манометрической трубке. Таким образом, можно считать объем газа неизменным. Подогревая воду в сосуде, окружающем колбу, будем отмечать температуру газа по термометру (T) , а соответствующее давление — по манометру (M) . Наполнив сосуд тающим льдом, измерим давление (

_0) , соответствующее температуре (0^C) . Опыты подобного рода показали следующее.

1. Приращение давления некоторой массы газа при нагревании на (1^C) составляет определенную часть (alpha) того давления, которое имела данная масса газа при температуре (0^C) . Если давление при (0^C) обозначить через (

_0) , то приращение давления газа при нагревании на (1^C) есть (

_0+alpha

_0) .

При нагревании на (tau) приращение давления будет в (tau) раз больше, т. е. приращение давления пропорционально приращению температуры.

2. Величина (alpha) , показывающая, на какую часть давления при (0^C) увеличивается давление газа при, нагревании на (1^C) , имеет одно и то же значение (точнее, почти одно и тоже) для всех газов, а именно ( >) . Величину (alpha) называют температурным коэффициентом давления. Таким образом, температурный коэффициент давления для всех газов имеет одно и то же значение, равное ( >) .

Закон Шарля
Давление некоторой массы газа при нагревании на (1^C) при неизменном объеме увеличивается на () часть давления, которое эта масса газа имела при (0^C) .

Следует, однако, иметь в виду, что температурный коэффициент давления газа, полученный при измерении температуры по ртутному термометру, не в точности одинаков для разных температур: закон Шарля выполняется только приближенно, хотя и с очень большой степенью точности.

Источник

Давление газа — формула. Формула давления газа в сосуде

Давление является одним из трех основных термодинамических макроскопических параметров любой газовой системы. В данной статье рассмотрим формулы давления газа в приближении идеального газа и в рамках молекулярно-кинетической теории.

Идеальные газы

Каждый школьник знает, что газ является одним из четырех (включая плазму) агрегатных состояний материи, в котором частицы не имеют определенных положений и движутся хаотичным образом во всех направлениях с одинаковой вероятностью. Исходя из такого строения, газы не сохраняют ни объем, ни форму при малейшем внешнем силовом воздействии на них.

В любом газе средняя кинетическая энергия его частиц (атомов, молекул) больше, чем энергия межмолекулярного взаимодействия между ними. Кроме того, расстояния между частицами намного превышают их собственные размеры. Если молекулярными взаимодействиями и размерами частиц можно пренебречь, тогда такой газ называется идеальным.

В идеальном газе существует лишь единственный вид взаимодействия — упругие столкновения. Поскольку размер частиц пренебрежимо мал в сравнении с расстояниями между ними, то вероятность столкновений частица-частица будет низкой. Поэтому в идеальной газовой системе существуют только столкновения частиц со стенками сосуда.

Все реальные газы с хорошей точностью можно считать идеальными, если температура в них выше комнатной, и давление не сильно превышает атмосферное.

Причина возникновения давления в газах

Прежде чем записать формулы расчета давления газа, необходимо разобраться, почему оно возникает в изучаемой системе.

Согласно физическому определению, давление – это величина, равная отношению силы, которая перпендикулярно воздействует на некоторую площадку, к площади этой площадки, то есть:

Выше мы отмечали, что существует только один единственный тип взаимодействия в идеальной газовой системе – это абсолютно упругие столкновения. В результате них частицы передают количество движения Δp стенкам сосуда в течение времени соударения Δt. Для этого случая применим второй закон Ньютона:

Именно сила F приводит к появлению давления на стенки сосуда. Сама величина F от столкновения одной частицы является незначительной, однако количество частиц огромно (≈ 10 23 ), поэтому они в совокупности создают существенный эффект, который проявляется в виде наличия давления в сосуде.

Формула давления газа идеального из молекулярно-кинетической теории

При объяснении концепции идеального газа выше были озвучены основные положения молекулярно-кинетической теории (МКТ). Эта теория основывается на статистической механике. Развита она была во второй половине XIX века такими учеными, как Джеймс Максвелл и Людвиг Больцман, хотя ее основы заложил еще Бернулли в первой половине XVIII века.

Согласно статистике Максвелла-Больцмана, все частицы системы движутся с различными скоростями. При этом существует малая доля частиц, скорость которых практически равна нулю, и такая же доля частиц, имеющих огромные скорости. Если вычислить среднюю квадратичную скорость, то она примет некоторую величину, которая в течение времени остается постоянной. Средняя квадратичная скорость частиц однозначно определяет температуру газа.

Применяя приближения МКТ (невзаимодействующие безразмерные и хаотично перемещающиеся частицы), можно получить следующую формулу давления газа в сосуде:

Здесь N – количество частиц в системе, V – объем, v – средняя квадратичная скорость, m – масса одной частицы. Если все указанные величины определены, то, подставив их в единицах СИ в данное равенство, можно рассчитать давление газа в сосуде.

Формула давления из уравнения состояния

В середине 30-х годов XIX века французский инженер Эмиль Клапейрон, обобщая накопленный до него экспериментальный опыт по изучению поведения газов во время разных изопроцессов, получил уравнение, которое в настоящее время называется универсальным уравнением состояния идеального газа. Соответствующая формула имеет вид:

Здесь n – количество вещества в молях, T – температура по абсолютной шкале (в кельвинах). Величина R называется универсальной газовой постоянной, которая была введена в это уравнение русским химиком Д. И. Менделеевым, поэтому записанное выражение также называют законом Клапейрона-Менделеева.

Из уравнения выше легко получить формулу давления газа:

Равенство говорит о том, что давление линейно возрастает с температурой при постоянном объеме и увеличивается по гиперболе с уменьшением объема при постоянной температуре. Эти зависимости отражены в законах Гей-Люссака и Бойля-Мариотта.

Если сравнить это выражение с записанной выше формулой, которая следует из положений МКТ, то можно установить связь между кинетической энергией одной частицы или всей системы и абсолютной температурой.

Давление в газовой смеси

Отвечая на вопрос о том, как найти давление газа и формулы, мы ничего не говорили о том, является ли газ чистым, или речь идет о газовой смеси. В случае формулы для P, которая следует из уравнения Клапейрона, нет никакой связи с химическим составом газа, в случае же выражения для P из МКТ эта связь присутствует (параметр m). Поэтому при использовании последней формулы для смеси газов становится непонятным, какую массу частиц выбирать.

Когда необходимо рассчитать давление смеси идеальных газов, следует поступать одним из двух способов:

• Рассчитывать среднюю массу частиц m или, что предпочтительнее, среднее значение молярной массы M, исходя из атомных процентов каждого газа в смеси;
• Воспользоваться законом Дальтона. Он гласит, что давление в системе равно сумме парциальных давлений всех ее компонентов.

Пример задачи

Известно, что средняя скорость молекул кислорода составляет 500 м/с. Необходимо определить давление в сосуде объемом 10 литров, в котором находится 2 моль молекул.

Ответ на задачу можно получить, если воспользоваться формулой для P из МКТ:

Здесь содержатся два неудобных для выполнения расчетов параметра – это m и N. Преобразуем формулу следующим образом:

Объем сосуда в кубических метрах равен 0,01 м 3 . Молярная масса молекулы кислорода M равна 0,032 кг/моль. Подставляя в формулу эти значения, а также величины скорости v и количества вещества n из условия задачи, приходим к ответу: P = 533333 Па, что соответствует давлению в 5,3 атмосферы.

Источник

Свойства газов (стр. 3 из 5)

С одной стороны, в сильно сжатых газах размеры самих молекул являются сравнимыми с расстояниями между молекулами. Таким образом, свободное пространство, в котором движутся молекулы, меньше, чем полный объем газа. Это обстоятельство увеличивает число ударов молекул в стенку, так как благодаря ему сокращается расстояние, которое должна пролететь молекула, чтобы достигнуть стенки.

С другой стороны в сильно сжатом и, следовательно, более плотном газе молекулы заметно притягиваются к другим молекулам гораздо большую часть времени, чем молекулы в разреженном газе. Это, наоборот, уменьшает число ударов молекул в стенку, так как при наличии притяжения к другим молекулам молекулы газа движутся по направлению к стенке с меньшей скоростью, чем при отсутствии притяжения. При не слишком больших давлениях. более существенным является второе обстоятельство и произведение PV немного уменьшается. При очень высоких давлениях большую роль играет первое обстоятельство и произведение PV увеличивается.

Итак, и сам закон Бойля — Мариотта и отступления от него подтверждают молекулярную теорию.

Изменение объема газа при изменении температуры

Мы изучали, как зависит давление некоторой массы газа от температуры, если объём остается неизменным, и от объема, занимаемого газом, если температура остается неизменной. Теперь установим, как ведет себя газ, если меняются его температура и объем, а давление остается постоянным.

Рассмотрим такой опыт. Коснемся Ладонью сосуда, изображенного на рис., в котором горизонтальный столбик ртути запирает некоторую массу воздуха. Газ в сосуде нагреется, его давление повысится, и ртутный столбик начнет перемещаться вправо. Движение столбика прекратится, когда благодаря увеличению объема воздуха в сосуде давление его сделается равным наружному. Таким образом, в конечном результате этого опыта объем воздуха при нагревании увеличился, а давление осталось неизменным.

Если бы мы знали, как изменилась в нашем опыте температура воздуха в сосуде, и точно измерили, как меняется объем Газа, мы могли бы изучить это явление с количественной стороны. Очевидно, что для этого надо заключить сосуд в оболочку, заботясь о том, чтобы все части прибора имели одну и ту же температуру, точно измерить объем запертой массы газа, затем изменить эту температуру и измерить приращение объема газа.

Количественное Исследование зависимости объема газа от температуры при неизменном давлении было произведено французским физиком и химиком Гей-Люссаком (1778—1850) в 1802 г.

Опыты показали, что увеличение объема газа пропорционально приращению температуры. Поэтому тепловое расширение газа можно, так же, как и для других тел, охарактеризовать при помощи коэффициента объемного расширения b. Оказалось, что для газов этот закон соблюдается гораздо лучше, чем для твердых и жидких тел, так что коэффициент объемного расширения газов есть величина, практически постоянная даже при очень значительных повышениях Температуры, тогда как для жидких и твердых тел это; постоянство соблюдается лишь приблизительно.

Опыты Гей-Люссака и других обнаружили замечательный результат. Оказалось, что коэффициент объемного расширения у всех газов одинаков (точнее, почти одинаков) и равняется (1/273)град -1 = =0,00366град -1 . Таким образом, при нагревании при постоянном давлении на1° объем некоторой массы газа увеличивается на 1/273 того объема, который эта масса газа занимала при 0°С (закон Гей—Люссака).

Как видно, коэффициент расширения газов совпадает с их термическим коэффициентом давления.

Следует отметить, что тепловое расширение газов весьма значительно, так что объем газа V при 0°С заметно отличается от объема при иной, например при комнатной, температуре. Поэтому, как уже упоминалось, в случае газов нельзя без заметной ошибки заменить в формуле (4) объем V объемом V. В соответствии с этим формуле расширения для газов удобно придать следующий вид. За начальный объем примем объем V при температуре 0°С. В таком случае приращение температуры газа t равно температуре, отсчитанной по шкале Цельсия t. Следовательно, коэффициент объемного расширения

Формула (6) может служить для вычисления объема как при температуре выше0 0 C , так и при температуре ниже 0°С. В этом последнем случае I отрицательно. Следует, однако, иметь ввиду, что закон Гей-Люссака не оправдывается, когда газ сильно сжат или настолько охлажден, что он приближается к состоянию сжижения. В этом случае пользоваться формулой (6) нельзя.

Графики, выражающие законы Шарля и Гей-Люссака

Будем по оси абсцисс откладывать температуру газа, находящегося в постоянном объеме, а по оси ординат — его давление. Пусть при 0°С давление газа равно 1 кг/см 2 . Пользуясь законом Шарля, мы можем вычислить его давление при 1000С, при 200°С, при 300°С и т. д.

0° 100° 200° 300° 400° 500°

Давление (в кг1см 2 ) 1 1,37 1,73 2,10 2,47 2,83

Нанесем эти данные на график. Мы получим наклонную прямую линию. Мы можем продолжить этот график и в сторону отрицательных температур. Однако, как уже было указано, закон Шарля применим только до температур не очень низких. Поэтому продолжение графика до пересечения с осью абсцисс, т. е. до точки, где давление равно нулю, не будет соответствовать поведению реального газа.

Легко видеть, что давление газа, заключенного в постоянный объем, не является прямо пропорциональным температуре, отсчитанной по Шкале Цельсия. Это ясно, например, из таблицы, приведенной в предыдущей главе. Если при 100° С давление газа равно 1,37 кг1см 2 , то при 200° С оно равно 1,73 кг/см 2 . Температура, отсчитанная по термометру Цельсия, увеличилась вдвое, а давление газа увеличилось только в 1,26 раза. Ничего удивительного, конечно, в этом нет, ибо шкала термометра Цельсия установлена условно, без всякой связи с законами расширения газа. Можно, однако, пользуясь газовыми законами, установить такую шкалу температур, что давление газа будет прямо пропорционально температуре, измеренной по этой новой шкале. Нуль в этой новой шкале называют абсолютным нулем. Это название принято потому, что, как было доказано английским физиком Кельвином (Вильямом Томсоном) (1824—1907), ни одно тело не может быть охлаждено ниже этой температуры.

В соответствии с этим и эту новую шкалу называют шкалой абсолютных температур. Таким образом, абсолютный нуль указывает температуру, равную -273° по шкале Цельсия, и представляет собой температуру, ниже которой не может быть ни при каких условиях охлаждено ни одно тело. Температура, выражающаяся цифрой 273°+t1 представляет собой абсолютную температуру тела, имеющего по шкале Цельсия температуру, равнуюt1. Обычно абсолютные температуры обозначают буквой Т. Таким образом, 273 0 +t1=T1. Шкалу абсолютных температур часто, называют шкалой Кельвина и записывают Т° К. На основании сказанного

Полученный результат можно выразить словами: давление данной массы газа, заключенной в постоянный объем, прямо пропорционально абсолютной температуре. Это — новое выражение закона Шарля.

Формулой (6) удобно пользоваться и в том случае, когда давление при 0°С неизвестно.

Объем газа и абсолютная температура

Из формулы (6), можно получить следующую формулу:

— объем некоторой массы газа при постоянном давлении прямо пропорционален абсолютной температуре. Это — новое выражение закона Гей-Люссака.

Зависимость плотности газа от температуры

Что происходит с плотностью некоторой массы газа, если температура повышается, а давление остается неизменным?

Вспомним, что плотность равна массе тела, деленной на объем. Так как масса газа постоянна, то при нагревании плотность газа уменьшается вот столько раз, во сколько увеличился объем.

Как мы знаем, объем газа прямо пропорционален абсолютной температуре, если давление остается постоянным. Следовательно, плотность газа при неизменном давлении обратно пропорциональна абсолютной температуре. Если d1 и d2— плотности газа при температурах t1 и t2, то имеет место соотношение

Объединенный закон газового состояния

Мы рассматривали случаи, когда одна из трех величин, характеризующих состояние газа (давление, температура и объем), не изменяется. Мы видели, что если температура постоянна, то давление и объем связаны друг с другом законом Бойля— Мариотта; если объем постоянен, то давление и температура связаны законом Шарля; если постоянно давление, то объем и температура связаны законом Гей-Люссака. Установим связь между давлением, объемом и температурой некоторой массы газа, если изменяются все три эти величины.

Источник