Жидкость в перевернутом сосуде

А так ли хорошо знакома вам гидроаэростатика? // Квант. — 2011. — № 3. — C. 32

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала “Квант”

• …доказано, что более легкие, чем жидкость, тела, будучи
насильно погружены в эту жидкость, движутся вверх с
силой, равной тому весу, на который жидкость, имеющая
объем, равный этому телу, будет тяжелее последнего.
Архимед

Мы погружены на дно безбрежного моря воздушной
стихии, которая, как известно из неоспоримых опытов,
имеет вес, причем он наибольший вблизи поверхности
Земли…
Эванджелиста Торричелли

Сосуд, наполненный водой, является новым принципом
механики и новой машиной для увеличения сил в
желаемой степени…
Блез Паскаль

…Полет на свободном аэростате представляет нечто
совершенно исключительное.
Камиль Фламмарион

Это и есть уравнение гидростатики. В общем случае оно
не имеет решения.
Ричард Фейнман

Безбрежное небо и неведомые глубины океана всегда влекли человека, побуждая его подняться как можно выше в воздух и опуститься как можно глубже под воду. Более двух тысяч лет назад был установлен один из самых древних законов, с которым вы знакомитесь одним из самых первых в курсе школьной физики, — закон Архимеда. С тех пор можно отсчитывать начало научного освоения двух стихий и рождение гидроаэростатики.

Мысли выдающихся ученых — как верстовые столбы на пути понимания и применения этого закона. Полеты на огромные высоты и глубоководные погружения совершаются сегодня на аппаратах, оснащенных современнейшим оборудованием, не только ради рекордов. Исследования атмосферы, в том числе последствий глобального потепления, разведка с воздуха, доставка грузов в труднодоступные места, совершенствование надводного и подводного флота, изучение морской фауны и флоры, поиски полезных ископаемых под океанским дном — вот неполный список задач, для решения которых необходимы аэростаты и дирижабли, научные суда и батискафы и… лежащий в основе их работы добрый старый закон Архимеда.

Но и в более простых задачах можно обнаружить неожиданные «подводные камни». Однако, не боясь предупреждения Фейнмана, беритесь за них — решения обязательно найдутся!

Вопросы и задачи

1. Что изображено на приведенном здесь рисунке? А если его перевернуть?

   

2. Два сплошных цилиндра одинаковой массы и равного диаметра, но один алюминиевый, а другой свинцовый, плавают в вертикальном положении в ртути. Какой из них погружен глубже?
3. В двух одинаковых сосудах с водой плавают плоская широкая и высокая узкая коробочки. Когда в каждую из них положили по одинаковому тяжелому грузику, они остались на плаву. В каком из сосудов уровень воды при этом поднялся выше?
4. Стакан с наклонными стенками, наполненный водой до краев, взвешивают на весах. Затем взвешивают этот же стакан с опущенным в него деревянным бруском, плавающим так, что вода доходит до краев стакана. Отличаются ли показания весов?
5. В ведре, наполненном доверху водой, плавает дырявая кастрюля. Выльется ли часть воды из ведра, когда кастрюля утонет?
6. Купаясь в речке с илистым дном, можно заметить, что ноги больше вязнут в иле на мелких местах, чем на глубоких. Как это можно объяснить?
7. Для погружения на 10 метров подводная лодка набирает в себя 100 тонн воды. А сколько воды ей надо набрать, чтобы погрузиться на 100 метров?
8. Стальной шарик плавает в ртути. Увеличится или уменьшится глубина его погружения, если повысить температуру?
9. Вес жидкости, налитой в сосуд, равен 3 Н. В жидкость погружают тело. Может ли архимедова сила, действующая на тело, равняться 10 Н?
10. В двух одинаковых сосудах на поверхности воды плавают одинаковые пробковые цилиндры, к которым снизу на тонких нитях привязаны одинаковые грузы, причем один груз находится в воде, а другой лежит на дне сосуда. Одинаков ли вес сосудов со всем, что в них находится?
11. В сосуде с водой плавает кусок льда, удерживаемый натянутой нитью, прикрепленной к дну сосуда. Как изменится уровень воды в сосуде, когда лед растает?
12. Порожнюю закрытую бутылку (с плоским дном) погружают в воду один раз горлышком вниз, а другой раз горлышком вверх на одну и ту же глубину, равную половине высоты бутылки. В каком случае совершается большая работа?
13. Вес любого тела на экваторе примерно на полпроцента меньше, чем в северных широтах. Изменяются ли осадка судна и его грузоподъемность при переходе из Северного Ледовитого океана в экваториальные воды? Плотность морской воды считайте везде одинаковой.
14. Со дна высокого стеклянного сосуда, наполненного водой, поднимается небольшой пузырек воздуха. Как изменяется выталкивающая его сила? Каков характер движения пузырька?
15. Из какого материала надо сделать гири, чтобы при точном взвешивании можно было не вводить поправки на уменьшение веса в воздухе?
16. Одинаковые по массе оболочки двух шаров сделаны из разных материалов: одна — из эластичной резины, другая — из прорезиненной ткани. Оболочки шаров наполнили водородом одного и того же объема и отпустили в воздухе. Какой из шаров поднимется на большую высоту?
17. Как зависит подъемная сила аэростата или дирижабля от температуры, при которой производится полет?
18. Чтобы дирижабль мог взлететь, его наполняют газом, более легким, чем воздух. Не лучше ли совсем выкачать из него газ?
19. Почему воздушный шар с закрытым выпускным клапаном, поднявшись на большую высоту, может лопнуть?
20. На дне сосуда с газом лежит тело, плотность которого немного больше плотности газа. Можно ли, повышая давление газа, заставить тело подняться вверх?

Микроопыт

В аквариум прямоугольной формы, наполненный водой, поместите любое тело, которое будет в нем плавать. Можно ли определить массу этого тела без взвешивания?

Любопытно, что…

…хотя Архимед считал себя прежде всего теоретиком, а работу над практическими приложениями относил к деятельности второго сорта, с его именем связывают около 40 изобретений.

…утверждение, получившее в науке имя Паскаля и ставшее одним из основных законов гидростатики, возможно, не в столь явной форме обнаруживается в трудах и Леонардо да Винчи, и Стевина, и Галилея, и Торричелли.

…несмотря на свою историческую важность, закон Архимеда не относится к фундаментальным законам природы. Так, его можно считать прямым следствием закона Паскаля; Стевин довольно просто обосновал его, исходя из принципов равновесия с помощью так называемого метода отвердевания жидкости; закон Архимеда выводится также из закона сохранения энергии.

…чтобы доказать, что пространство над столбиком ртути — в знаменитом опыте с заполненной ею стеклянной трубкой — остается пустым, Торричелли впускал туда воду, которая под действием атмосферного давления врывалась в него «со страшным напором» и целиком его заполняла.

…неосознанно, не пользуясь расчетами, люди издревле опирались на закон Архимеда, когда, например, необходимо было преодолевать водные преграды. И лишь в 1666 году английский корабел Энтони Дин, к удивлению современников, теоретически определил осадку корабля и прорезал в его бортах отверстия для пушек до его спуска на воду, в то время как раньше это проделывали, когда корабль был уже на плаву.

…к основоположникам аэростатики справедливо причисляют и Роберта Бойля, именем которого назван известный газовый закон. Так, после усовершенствования им насоса для откачки воздуха из резервуаров большого объема тут же возникли проекты по созданию летательных аппаратов, «более легких, чем воздух», причем сразу же предусматривались военные применения таких машин.

…полет людей на воздушном шаре, заполненном горячим дымом, долго не позволял совершить братьям Монгольфье сам французский король, опасаясь за жизнь аэронавтов. Первый полет был осуществлен лишь в 1783 году. И в том же 1783 году (в год своей смерти) великий математик Леонард Эйлер подробно рассчитал подъемную силу аэростата, словно завещал разумно рисковать, опираясь на знания законов физики.

…в 1932 году швейцарский физик Огюст Пикар поднялся на аэростате собственной конструкции в стратосферу на высоту почти 17 километров, а позднее на разработанном им же батискафе погрузился в самую глубокую точку Средиземного моря. В 1960 году его сын Жак на батискафе «Триест» погрузился в Марианскую впадину на рекордную глубину около 11 тысяч метров. Семейную традицию поддержал внук Огюста Пикара — Бертран, совершивший в 1999 году кругосветное путешествие на воздушном шаре «Орбитер» за двадцать дней без промежуточной посадки.

…автор модели расширяющейся Вселенной Александр Фридман занимался еще и метеорологией и в 1925году принял участие в рекордном по тому времени полете на воздушном шаре до высоты 7400 метров. А Огюст Пикар, научным руководителем которого был автор теории относительности Альберт Эйнштейн, поднимался в небо на аэростате в том числе и для проведения эксперимента, подтвердившего эту теорию.

…на смену людям, совершающим глубоководные погружения в батискафах, приходят роботы, «одетые» в специальную керамическую оболочку, позволяющую выдерживать чудовищное давление. Так, в 2009 году американский робот «Нерей» провел на дне Марианского желоба десять часов, выполняя различные измерения.

Ответы

1. Равновесие воздушных шаров. На перевернутом рисунке -равновесие сосудов с жидкостью.
2. Имея равный вес, цилиндры вытесняют одинаковые объемы ртути, а так как диаметры их равны, то одинаковы и глубины погружения.
3. Объем погруженной в воду части каждой коробочки меняется на одну и ту же величину. Поскольку сосуды одинаковы, то и уровень воды в каждом из них повысится одинаково.
4. Нет, так как вес вытесненной бруском воды равен весу бруска.
5. Нет, не выльется. Плотность материала кастрюли больше плотности воды, поэтому когда кастрюля утонет, она будет вытеснять меньший объем, нежели когда она плавала. Значит, уровень воды в ведре понизится.
6. На мелководье меньше действующая на человека выталкивающая сила.
7. Практически столько же, так как воду при погружении на такие глубины можно считать несжимаемой.
8. При нагревании ртуть расширяется сильнее, чем сталь, поэтому выталкивающая сила уменьшится, и шарик опустится глубже.
9. Да, может, если размеры тела близки к размерам сосуда.
10. Во втором сосуде пробковый цилиндр погрузился меньше, чем в первом, т.е. вытеснил меньше воды. Следовательно, второй сосуд тяжелее первого.
11. Допустим, что нить оборвалась. Тогда лед всплывет, и уровень воды в сосуде понизится. При дальнейшем таянии льда уровень воды уже меняться не будет.
12. Во втором, так как у бутылки внешний объем нижней части всегда больше объема верхней части.
13. Не изменяются, поскольку в весе одновременно теряют и судно, и вытесняемая им вода.
14. По мере поднятия увеличивается объем пузырька. Выталкивающая сила, пропорциональная объему пузырька, будет расти. На пузырек также будет действовать сила сопротивления, но она пропорциональна площади сечения пузырька и поэтому будет возрастать медленнее. Значит, движение пузырька будет ускоренным.
15. Гири нужно сделать из того же материала, что и взвешиваемое тело.
16. На одной и той же высоте над землей у шара из эластичной резины объем будет больше, чем у шара из прорезиненной ткани. Значит, выталкивающая сила, действующая на него, будет больше, и он поднимется выше.
17. Чем больше разница в плотностях воздуха и газа, заполняющего аэростат или дирижабль, тем больше подъемная сила. Следовательно, она возрастает при понижении температуры воздуха, когда он становится плотнее.
18. Дирижабль без газа внутри, конечно, стал бы легче, но его раздавило бы давление наружного воздуха.
19. Оболочка шара может не выдержать разности внутреннего и уменьшившегося внешнего давлений.
20. В принципе, можно – если сжимаемость газа больше сжимаемости тела.

Микроопыт

Можно. Для этого достаточно найти объем вытесненной телом воды, измерив сечение аквариума и изменение уровня воды при опускании в нее тела, и затем умножить этот объем на плотность воды.

Что читать в «Кванте» о гидроаэростатике

(публикации последних лет)

1. «Как попасть на Таинственный остров» — 2004, №1, с. 25;
2. «Путешествие на воздушном шаре» — 2004, №3, с.31;
3. «Задачи с жидкостями» — 2006, №1, с.40;
4. «Вверх и вниз через атмосферу» — 2007, №1, с.9;
5. «Гидростатика в стакане» — 2008, №3, с.47;
6. «Устоит ли наш кораблик?» — 2008, №4, с.42;
7. «Силы сопротивления в задачах динамики» — 2009, №1, с.50;
8. «Подводные камни» силы Архимеда» — 2009, №2, с.46;
9. «О плавании одномерных объектов» — 2010, №4, с.36.

Материал подготовил А.Леонович

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала «Квант»

Давление и силы давления

Жидкость оказывает давление на стенки сосуда, в котором она находится, или на любую другую поверхность, соприкасающуюся с ней. Давление – величина скалярная. Оно измеряется абсолютной величиной нормальной (перпендикулярной поверхности) силы, действующей со стороны жидкости на единицу площади поверхности:

Давление в различных точках поверхности может быть разным. Поэтому площадь S мы должны брать достаточно маленькой.

По закону Паскаля давление жидкости не зависит от ориентации поверхности. Как бы ни была расположена поверхность в данном месте жидкости, давление на нее будет одним и тем же.

Сила давления всегда перпендикулярна поверхности. В обычных условиях она направлена так, как если бы жидкость стремилась расшириться.

Задача 1. В сосуд, имеющий форму куба с ребром a, налита доверху жидкость плотностью ρ. Определите силы давления жидкости на дно и стенки сосуда.

Давление жидкости на дно сосуда равно весу столба жидкости высотой a с площадью основания, равной единице: , где g – ускореннее свободного падения. (Для простоты здесь и в других задачах, где это специально не оговорено, предполагается, что атмосферное давление отсутствует). Сила давления на дно сосуда (рис. 1, а)

а

б

Рис. 1

Давление на боковую грань куба будет зависеть от расстояния до поверхности жидкости. На глубине h давление . Так как давление изменяется с глубиной по линейному закону (рис. 1. б), для определения силы давления мы должны среднее давление

умножить на площадь боковой грани

Задача 2. В цилиндрический сосуд диаметром D = 0,7 м вставлен поршень с длинной вертикальной трубкой диаметром d = 0,05 м (рис. 2). Максимальная сила трения между поршнем и стенками сосуда Fтp = 100 Н. Через трубку в сосуд наливают воду. При каком уровне воды в трубке H поршень начнет двигаться? Чему будет равна при этом сила давления воды на дно сосуда? Поршень расположен на высоте h = 0,2 м от дна сосуда. Плотность воды ρ = 103 кг/м3. Массой поршня с трубкой пренебречь.

Рис. 2

Давление в жидкости на уровне поверхности поршня определяется расстоянием от этого уровня до свободной поверхности жидкости:

Поршень начнет двигаться, когда сила давления на него со стороны жидкости станет равной максимальной силе трения:

где  – плошали поперечных сечений сосуда и трубки соответственно. Подставляя сюда выражение для p1, находим

Давление на дно сосуда .

Сила давления

Задача 3. Длинная вертикальная труба с поршнем опущена одним концом в сосуд с водой. Вначале поршень находится у поверхности воды, затем его медленно поднимают. Как зависит сила, прикладываемая к поршню, от высоты h ее поднятия? Площадь поперечного сечения трубы S, атмосферное давление p0. Изменением уровня воды в сосуде, массой поршня и ею трением о стенки трубы пренебречь.

При поднятии поршня вода под действием атмосферного давления будет вначале заполнять трубу (рис 3, а). Давление в трубе на уровне жидкости в сосуде равно атмосферному давлению p0. Давление воды на поршень меньше атмосферного на величину веса столба жидкости высотой h и площадью основания, равной единице:

а

б

Рис. 3

Сверху на поршень по-прежнему действует атмосферное давление. Поэтому для удержания поршня на высоте h к нему надо приложить силу, равную

и направленную вверх.

С увеличением h давление воды на поршень будет уменьшаться. На высоте

давление обратится в ноль. При дальнейшем поднятии поршня уровень воды в трубе изменяться не будет, тан как сила атмосферного давления, действующая на столб жидкости в трубе снизу, уравновесится силой тяжести. Для удержания поршня на высоте h > h0 к нему надо приложить силу .

Зависимость прикладываемой к поршню силы F от высоты его поднятия h изображена графически на рисунке 3, б.

Высота столба воды в трубе , очевидно, может служить для измерения атмосферного давлении p0. Однако обычно в барометрах используют ртуть, и нормальному атмосферному давлению тогда соответствует значительно меньшая высота столба ртути  = 0,76 м (плотность ртути ρрт = 1,36×104 кг/м3).

Примером другого гидростатического устройства, широко используемого в практике, являются сообщающиеся сосуды. Известен закон сообщающихся сосудов: если давление над жидкостью в сосудах одинаково, то уровни жидкости в них равны. Нетрудно доказать этот закон для случая цилиндрических сосудов (рис. 4). Так как жидкость в соединительной трубке находится в равновесии, то давления на нее с обеих сторон должны быть одинаковы. Поэтому равны и уровни жидкости в сосудах.

Рис. 4

В общем случае для доказательства закона сообщающихся сосудов можно воспользоваться принципом отвердевания, который часто используют в гидростатике. Суть этого принципа заключается в следующем: всегда можно представить себе, что часть жидкости отвердела – равновесие оставшейся части жидкости от этого не нарушится. Так, в цилиндрических сообщающихся сосудах мы можем мысленно выделить часть жидкости, которая заполняла бы сообщающиеся сосуды любой извилистой формы (см. рис. 4), и представить себе, что остальная часть жидкости отвердевает. Тогда равновесие выделенной нами части жидкости не нарушится, и, следовательно, уровни жидкости в извилистых сообщающихся сосудах будут такими же, какими были в цилиндрических сосудах, т.е. одинаковыми.

Закон сообщающихся сосудов справедлив только для однородной жидкости. Если в сосуды налиты жидкости разных плотностей, то уровни в сосудах могут быть разными.

Задача 4. В U – образную трубку налита ртуть. Поверх ртути в одно из колен трубки налили воду (рис. 5, a). Высота столбика воды l = 0,1 м. Определите разность уровней жидкостей в коленах трубки. Нарисуйте график зависимости давления в обоих коленах трубки от высоты. Плотность ртути ρрт = 1,36×104 кг/м3, плотность воды ρрт = 103 кг/м3. Атмосферное давление не учитывайте.

а

б

Рис. 5

Давления на ртуть на уровне ho соприкосновения воды и ртути в обоих коленах должны быть одинаковы (закон сообщающихся сосудов для однородной жидкости). Поэтому

где разность уровней h2 – h1 обозначена через Δh. Отсюда

Давление в колене, содержащем только ртуть, меняется с высотой h по закону

Эта формула справедлива и в изогнутой части трубки. (Представите себе, что изогнутое колено сообщается с прямым цилиндрическим сосудом, в котором тоже находится ртуть. Тогда давления на одинаковой высоте в обоих сосудах должны быть равны). В другом колене в области , где находится только вода, давление

Ниже уровня h0 зависимость давления от высоты дается той же формулой, что и в первом колене:

Зависимость давления в коленах трубки от высоты изображена графически на рисунке 5, б. Как видно, выше уровня h0 давления на одинаковой высоте разные.

Выталкивающая сила

На тело, погруженное в жидкость, как известно, действует выталкивающая сила. Эта сила является равнодействующей сил давления жидкости на тело. Найдем, например, выталкивающую силу, действующую на кубик с ребром a целиком погруженный в жидкость плотностью ρ. Сила давления со стороны жидкости на верхнюю грань кубика равна

где h – расстояние от этой грани до поверхности жидкости (для простоты мы считаем, что плоскость верхней грани кубика параллельна поверхности жидкости). На нижнюю грань кубика действует сила

Силы давления на боковые грани кубика уравновешивают друг друга. Равнодействующая сил давлении, т.е. выталкивающая сила, равна

и направлена вертикально вверх. Мы получили закон Архимеда: выталкивающая сила равна силе тяжести, действующей на вытесненную телом жидкость.

В общем случае закон Архимеда можно доказать с помощью принципа отвердевания. Мысленно заменим погруженное тело жидкостью. Очевидно, что эта жидкость будет находиться в равновесии. Следовательно, сила тяжести, действующая на нее, уравновешена силами давления со стороны окружающей жидкости. Если теперь представить себе, что выделенная нами часть отвердела, то равновесие оставшейся части не нарушится, и поэтому не изменятся силы давления на отвердевшую жидкость. Равнодействующая этих сил будет по-прежнему равна силе тяжести.

При доказательстве мы считали, что тело целиком погружено в жидкость. Однако аналогичные рассуждения легко провести и в случае, когда только часть тела находится в жидкости (проделайте это сами). И мы опять получим, что выталкивающая сила равна силе тяжести, действующей на вытесненную телом жидкость:

где ρ – плотность жидкости, V – объем погруженной в жидкость части тела, g –ускорение свободного падения.

Задача 5. На дне водоема установлена П – образная конструкция из трех одинаковых балок, соединенных между собой (рис. 6). Как зависит сила давления этой конструкции на дно от уровня воды в водоеме? Рассмотрите два случая: 1) вода подтекает под опоры; 2) опоры плотно соприкасаются с дном. Балки имеют квадратное сечение со стороной a, длина балки l = 2a. Плотность материала балок ρ0. плотность воды ρ.

а

б

в

Рис. 6

Сила давления Fд на дно определяется разностью силы тяжести конструкции  и выталкивающей силы F. В первом случае, когда вода подтекает под опоры (например, если дно водоема покрыто галькой – рисунок 6, а), справедлив закон Архимеда. Зависимость выталкивающей силы от высоты уровня воды h дается формулами:

Соответствующий график для силы Fд изображен на рисунке 6, в – он обозначен цифрой 1.

Во втором случае отсутствует давление воды на опоры снизу (рис.6, б), и пользоваться законом Архимеда уже нельзя. Для определения силы F необходимо найти равнодействующую сил давления:

F = 0 при h ≤ a,

Последнее выражение обращается в нуль при  и при больших h становится отрицательным. Это означает, что при  силы давления не выталкивают конструкцию из воды, а наоборот, прижимают ее ко дну. Зависимость силы давления на дно от высоты уровня воды показана на втором графике рисунка 6, в.

Задача 6. Пробковый кубик с ребром a = 0,1 м погрузили в воду на глубину h = 0,2 м с помощью тонкостенной трубки диаметром d = 0,05 м (рис. 7). Определите, какой груз надо положить в трубку, чтобы кубик от нее оторвался. Плотность пробки ρ0 = 200 кг/м3, плотность воды ρ = 103 кг/м3.

Рис. 7

Вес груза равен разности выталкивающей силы F действующей на кубик, и силы тяжести кубика . Если бы кубик был окружен со всех сторон водой, то на него по закону Архимеда действовала бы выталкивающая сила . В нашем случае выталкивающая сила будет большей, так как на часть поверхности верхней грани кубика, «заключенную» в трубку, не действует давление воды:

где  – площадь сечения трубки. Таким образом, сила тяжести грузика

Масса грузика т = 1,2 кг.

Выталкивающую силу, действующую на кубик, можно найти и другим способом. Рассмотрим кубик с трубкой как единое тело, вытесняющее объем воды

Тогда по закону Архимеда на кубик с трубкой действует выталкивающая сила

которая равна выталкивающей силе, действующей на кубик, так как равнодействующая сил давления воды на трубку равна нулю.

Жидкость в движущемся сосуде

Изучим теперь равновесие жидкости в сосуде, движущемся с ускорением. По второму закону Ньютона в этом случае векторная сумма всех сил, действующих на любой выделенный элемент жидкости, должна равняться , где m – масса выделенной жидкости,  – ускорение сосуда. Но на выделенный элемент жидкости действуют сила тяжести и силы давления со стороны окружающей жидкости. Их равнодействующая и должна быть равна .

Задача 7. Сосуд с жидкостью плотностью ρ падает с ускорением a. Определите давление жидкости на глубине h и силу давления на дно сосуда. Высота уровня воды в сосуде H, площадь дна сосуда s.

Выделим столбик жидкости высотой h с площадью основания s. На него действуют сила тяжести  и сила давления , направленная вверх. Равнодействующая этик сил создает ускорение столбика:

где  – масса столбика. Для давления p на глубине h отсюда находим

Сила давления на дно сосуда

будет тем меньше, чем больше ускорение сосуда a. При  (свободное падение) сила давления жидкости обращается в ноль – наступает состояние невесомости. При  жидкость будет свободно падать с ускорением g, а сосуд – с большим ускорением, и вода вытечет из сосуда.

Задача 8. На дне сосуда с жидкостью лежит тело. Может ли тело всплыть, если сосуд начнет двигаться вверх с ускорением? Определите силу давления тела на дно сосуда, если ускорение сосуда a, плотность жидкости ρ0, плотность тела ρ, его объем V.

На тело, лежащее на дне сосуда, действуют сила тяжести mg сила реакции дна N и выталкивающая сила F (рис. 8). Если сосуд покоится, то сумма этих сил равняется нулю. При движении сосуда с ускорением a вверх по второму закону Ньютона имеем

Рис. 8

Определим выталкивающую силу F. Аналогично решению предыдущей задачи, легко получить, что при ускоренном движении сосуда, вверх давление на глубине h дается формулой

т.е. давление в  раз больше, чем в неподвижном сосуде. Соответственно будет большей и выталкивающая сила:

где  – масса вытесненной телом воды.

Подставляя это выражение в формулу второго закона Ньютона, для силы реакции дна получаем

Легко видеть, что в сосуде, движущемся с ускорением вверх, сила реакции дна всегда больше, чем в неподвижном. Поэтому тело не только не всплывает, а наоборот, сильнее прижимается ко дну.

Задача 9. Сосуд с жидкостью движется горизонтально с ускорением a. Определите форму поверхности жидкости в сосуде.

Выделим горизонтальный столбик жидкости длиной l и площадью поперечного сечения S (рис. 9). По второму закону Ньютона

где  – масса столбика, p1 и p2 – давления на него слева и справа.

Рис. 9

Давление на глубине h определяется по обычной формуле  (по вертикали ускорения нет). Подставляя выражения для m и p в уравнение второго закона Ньютона, получаем

или

Но  – это разность высот точек поверхности жидкости. Мы получаем, что поверхность жидкости – плоскость, наклоненная к горизонту под углом α, причем .

Заметим, что давление жидкости на данной высоте здесь не одно и то же. Линии равного давления параллельны поверхности жидкости. Если ввести расстояние h´ от точки до поверхности жидкости, то давление в этой точке

Поэтому можно сказать, что ускоренное движение сосуда эквивалентно замене ускорения свободного падения  на величину . Это утверждение в равной степени относится и к предыдущим двум задачам.

Упражнения

1. Три сосуда, имеющие формы цилиндра, усеченного конуса и перевернутого усеченного конус с одинаковыми площадями оснований и рапными объемами, доверху наполнены водой. Как соотносятся между собой силы давлении воды на дно сосудов?

2. Трубка ртутного барометра подвешена нити. Определите натяжение нити, если высота уровня ртути и трубке Н = 0,76 м, внешний диаметр трубки D = 0,02 м, внутренний d = 0,017 м. нижн?