Жидкость во вращающемся сосуде лабораторная работа
Работа 3. Исследование формы поверхности жидкости во вращающемся сосуде
(10-й класс)
Цель работы
Получить аналитическое выражение для кривой, образуемой поверхностью воды в плоской кювете, вращающейся с постоянной угловой скоростью, связать коэффициенты функции с характеристиками жидкости и параметрами вращения.
Теоретические основы работы
Рассмотрим жидкость, вращающуюся вместе с сосудом с угловой скоростью w вокруг вертикальной оси OY. Оси координат инерциальной системы отсчета выберем так, как показано на рисунке.
Рассмотрим условие равновесия вертикального столбика жидкости АВ = y, находящегося на расстоянии x от оси вращения. Если площадь DS основания столбика мала, условие равновесия столбика вдоль оси OY запишется как
,
где m =ryDS – масса столбика, p0 – атмосферное давление, p1 – давление у основания столбика. Тогда
и
(1)
Согласно закону Паскаля, давление p1 характеризует силу воздействия жидкости в окрестности точки А как на вертикальный столб АВ снизу, так и на горизонтальный столб АО слева. Поэтому для определения p1 рассмотрим движение горизонтального столбика ОА того же поперечного сечения DS, вращающегося вокруг оси OY. Он вращается как твердое тело. Для описания вращающегося твердого тела воспользуемся теоремой о движении центра масс столбика, находящегося в точке с координатами :
.
Здесь – масса горизонтального столбика, – сумма всех сил, действующих на горизонтальный столбик OA. В проекции на ось OX это уравнение запишется как
.
Проекция ускорения центра масс столбика при его движении по окружности
,
тогда
(2).
Сопоставляя это выражение с уравнением (1), получим , то есть кривая y(x) в сечении жидкости плоскостью OXY описывается функцией , графиком которой является парабола с вершиной в точке О.
Следовательно, поверхность жидкости является поверхностью, образованной вращением параболы вокруг оси OY.
Оборудование
· ПК с программой для видеоанализа
· Плоская пластиковая кювета с подкрашенной водой
· Электродвигатель
· Нить
· Штатив с лапкой для крепления электродвигателя
· Видеокамера (фотоаппарат с функцией видеосъемки) на штативе
Порядок проведения эксперимента
Соберите установку согласно схеме.
Сфотографируйтесь рядом с установкой. Замкните ключ, дождитесь, когда кювета раскрутится до вращения с постоянной скоростью, и снимите вращение кюветы с водой фотоаппаратом, работающим в режиме видеосъемки, или на видеокамеру в течение нескольких секунд. Объектив камеры должен располагаться на расстоянии не менее 1 м от кюветы напротив середины ее большей вертикальной грани. Ось объектива – горизонтальна.
4. Отключите электродвигатель от блока питания и замерьте высоту (ширину) кюветы.
5. Загрузите файлы с результатами фото – и видеосъемки на ваш рабочий компьютер, используя специальный кабель.
Обработка и анализ результатов
(описание для обработки в программе «1С:Измеритель»).
1. Загрузите в программу «1С:Измеритель» для обработке фото и видео видеофайл с вращающейся кюветой. Если видеофайлы имеют расширение, иное от *.avi и *.wmv (например, *.mov), то следует воспользоваться стандартными конверторами видеофайлов и перевести их в этот формат.
Проводя покадровый просмотр видеофайла, найдите кадр, где большая грань кюветы находится в плоскости, перпендикулярной оси объектива камеры. Используя кнопку «t=0», выберите этот кадр за начало отсчета. Листая по кадрам видеофайл, найдите следующий кадр, когда кювета с водой, совершив один оборот, оказалась в таком же положении, и, используя инструмент «Точка» 
, пометьте этот кадр. В таблице результатов во вкладке «Точки» должны появится номер и время кадра, на котором вы поставили «Точку». Пролистайте таким образом кадры, в течение которых груз совершит 10 оборотов вокруг оси вращения. Для того чтобы не ошибиться в счете, рекомендуется после каждого полного оборота кюветы ставить на кадре «Точку». Тогда в таблице будет заполнено 10 строк с номером кадра и временем его фиксирования после начала отсчета. Экспортируйте данные по периоду вращения груза в программу обработки результатов Excel, воспользовавшись в таблице с результатами измерения кнопкой «Экспорт таблиц в Excel». Если вы не фиксировали каждый полный оборот кюветы установкой «Точки» на экране и число строк таблицы не соответствует числу оборотов кюветы, то рекомендуется на этом этапе ввести в таблице Excel дополнительный столбец «N», показывающий число оборотов кюветы за время, зафиксированное в строке.
Точки | |||||
Подпись | Кадр | Время, с. | X, м. | Y, м. | N |
Точка 1 | 5 | ||||
Точка 2 | 124 | 4,76 | 10 | ||
Точка 3 | 244 | 9,56 | 20 | ||
Точка 4 | 304 | 11,96 | 25 |
Сохраните файл с таблицей в виде отдельного файла с названием «Таблица 1.xls». В загруженном видеофайле найдите кадр, в котором большая вертикальная плоскость кюветы перпендикулярна оси объектива камеры, с помощью которой проводилась видеосъемка. Зафиксируйте положение точек поверхности вращающейся жидкости в выбранной системе координат:
– установите систему координат 
на кадр. Рекомендуется ось OX расположить вертикально, начало координат поместить в самой нижней точке поверхности вращающейся жидкости;
– растяните масштабный отрезок вдоль вертикального ребра кюветы и введите его реальную длину и единицы измерения в соответствующие окна на экране «Измерителя по обработке фото и видео»;
– используя инструмент «Точка» 
, поставьте 15–20 точек вдоль всей линии показывающей форму поверхности жидкости во вращающейся кювете. В таблице элементов на вкладке «Точки» появятся номер кадра, на котором вы проводите фиксирование формы поверхности, и координаты всех поставленных точек в выбранной системе координат;
– экспортируйте таблицу в Excel с помощью соответствующей кнопки и сохраните файл с этими данными в редакторе таблиц Excel, присвоив ему название «Таблица2.xls».
Сохраните вид экрана с результатами обработки в виде рисунка, перенесите вид экрана в Буфер обмена (кнопка Print Screen на клавиатуре), а затем в любой графический редактор, например Paint, и сохраните рисунок в виде файла с названием, например «Результат обработки 1.jpg». Этот файл понадобится вам для подготовки отчета. Сохраните на всякий случай результаты обработки данного кадра, воспользовавшись в программе «Измеритель по обработке фото и видео» опцией Файл – Сохранить проект и дав проекту название, например «Проект 1.rul». Это позволит при обнаружении в дальнейшей работе с полученными данными неверных действий на данном этапе вернуться к повторной обработке того же файла с того же места.
Обработку результатов можно произвести в редакторе таблиц Excel, используя его возможности для графического представления информации из таблиц. Рекомендуется воспользоваться Шаблоном для обработки данных работы «Исследование формы поверхности жидкости во вращающемся сосуде», в который можно загрузить данные из файлов «Таблица1.xls» и «Таблица2.xls» путем копирования содержимого ячеек или соответствующих фрагментов таблиц. В шаблоне имеется два листа – «Период вращения кюветы» и «Данные по одной точке».
Ячейки таблицы, окрашенные желтым, должны быть заполнены данными из таблицы в файле «Таблица1.xls», столбец «Число оборотов N от начала отсчета» вручную, если не был заготовлен заранее в файле «Таблица1.xls».
Ошибка измерения времени на экране Dt = 0,04 с внесена в Шаблон заранее, как время смены одного кадра на экране. Если вы используете более совершенную камеру
(с большим числом кадров в 1 с), точность будет другая и вам следует изменить данные в столбце «Ошибка измерения времени Dt, с».
Заполнение ячеек в первых четырех столбцах приводит к автоматическому заполнению остальных ячеек, окрашенных зеленым. Так, относительная ошибка в определении периода считается относительной ошибкой измерения времени (Dt/t)×100%, а ее окончательное значение выбирается минимальным из всех полученных, значение периода и абсолютная ошибка периода считаются исходя из строчки с минимальной относительной ошибкой периода. В данном примере – на основании последней строки T=11,96/25=0,478 c, DT=T×(0.3%/100%)=0,001 c.
Вид Шаблона на листе «Данные по одной точке» показан ниже.
В желтые ячейки таблицы копируются значения из «Таблица2.xls». В правой части имеется инструментарий для графика экспериментальных данных Y(X) и сопоставления этого графика c графиками функций, приведенных в списке типовых функций на странице. Данные в ячейки, окрашенные фиолетовым цветом, вводятся с клавиатуры при уточнении коэффициентов подбираемых функций. На рисунке синим показан график экспериментальных данных, а красным – график функции Y=Аln|X|+B при значениях А=1 и В=1.
Внимание! Аналитический вид функциональной зависимости, описываемый данным графиком, сильно зависит от расположения системы координат. Если вы решите, что вы неудачно выбрали начало или направление осей OX и OY, то можно вернуться к обработке кадра видео с выбором системы координат и нанесением точек вдоль линии, отображающей форму поверхности жидкости в кювете (п. 6 раздела Порядок проведения измерений с использованием «Измерителя по обработке фото и видео»).
Для этого можно, открыв «Измеритель по обработке фото и видео», загрузить старый проект (файл «Проект 1.rul», который вы создали перед закрытием программы «Измеритель по обработке фото и видео»). После загрузки проекта можно выбрать опцию Правка – Выделить все, стереть результаты предыдущей работы и выбрать новое расположение системы отсчета, масштабного отрезка и нанести новые точки на кадр.
Вопросы и задания для предварительного опроса и защиты ЛР
Распечатайте кадр с вращающейся жидкостью, на котором кювета повернута большей боковой гранью перпендикулярно к оси видеосъемки. Выделите на нем фрагмент жидкости вблизи границы раздела вода – воздух и изобразите силы, действующие на этот фрагмент. Куда направлена равнодействующая сил, действующих на выделенный фрагмент жидкости? Одинаково ли давление во всех точках вращающейся жидкости, находящихся на горизонтальной прямой, проходящей через нижнюю точку границы раздела воздух–жидкость? Как связаны координаты X и Y точек, лежащих на границе раздела жидкость – воздух в кювете, вращающейся с периодом Т в системе координат, оси которой расположены вертикально и горизонтально, а начало координат расположено в нижней точке С границы раздела? Как будет выглядеть зависимость Y(X) в системе координат, сдвинутой относительно точки С (см. п. 4) на расстояние d вправо? влево? вверх? вниз? с осью OY, повернутой вниз? Вода налита в сосуд в форме параллелепипеда высотой и шириной 10 см и в состоянии покоя заполняет его на одну треть. При какой частоте вращения покажется дно сосуда? жидкость начнет выливаться через край сосуда?
Отчет
Отчет рекомендуется готовить в текстовом редакторе Word, доступном на школьных компьютерах и знакомом вам по урокам информатики. Вы сможете вставить в него различные данные и графические иллюстрации, подготовленные в ходе выполнения работы, путем копирования фрагментов цифровых ресурсов.
Отчет обязательно должен содержать:
1) фамилии и имена, класс, исполнителей работы с фотографией на фоне установки;
2) вид установки с выносками, поясняющими названия и предназначение ее компонентов (электродвигатель, крепеж, кювета, источник питания), описание условий фото – и видеосъемки (тип фотоаппарата, число кадров в секунду, разрешение матрицы, расстояние до установки и расположение точки съемки относительно кюветы);
3) таблицу исходных данных по измерению периода вращения кюветы и итоговые числовые значения периода с указанием точности измерений;
4) рисунок, иллюстрирующий процедуру фиксирования формы поверхности жидкости на экране компьютера с демонстрацией положения системы координат и масштабного отрезка;
5) таблицу исходных данных по координатам точек на границе вода–воздух на кадре с вращающейся кюветой.
6) график, показывающий степень соответствия экспериментальных данных и теоретической аналитической зависимости при указанных коэффициентах;
7) вывод по следующему образцу.
Вывод
При w0 = 0 форма поверхности описывается прямой y=.
При w1 =____ с-1 наблюдаемая форма поверхности описывается кривой с уравнением f(X)=__________
где А=____, В=______, С=______
Это с теоретической зависимостью ___________________, из которой можно, зная значение w1 =______, с-1 и А=_____ , оценить значение ускорения свободного падения g»______ .
Источник
11
Цель работы: изучить форму поверхностей разного уровня и закон распределения давлений во вращающемся сосуде.
Задачи работы
Определить частоту вращения сосуда, при которой свободная поверхность жидкости коснется дна.
Вычислить для этого условия минимальную высоту сосуда, при которой жидкость не перельется через край.
Вычислить частоту вращения, при которой жидкость коснется верхнего края сосуда непролившись.
Определить частоту вращения сосуда, при которой из жидкости оголяется конец стержня с заданными длиной и координатой. Вычислить давление на половине длины стержня.
Провести проверку полученных результатов экспериментально.
Теоретические сведения
Во время вращения сосуда на жидкость, помимо объемных сил тяжести действует система центробежных сил инерции (рис. 2.1).
Пусть цилиндрический сосуд радиуса R, наполненный жидкостью, вращается вокруг своей оси равномерно, с угловой скоростью ω. Благодаря силам трения стенки вращающегося сосуда будут вначале увлекать за собой жидкость в непосредственной близости от них, а по истечении некоторого времени вся жидкость начнет вращаться вместе с сосудом с той же угловой скоростью ω,, находясь по отношению к стенкам сосуда в покое. Силы трения внутри жидкости, а также между жидкостью и стенками сосуда или его дном будут отсутствовать.
Если оси координат Ox, Oy, Oz, расположенные, как показано на чертеже, будем считать скрепленными с вращающимся сосудом, то по отношению к этим осям координат жидкость будет также находится в покое. Поэтому для исследования вращающейся жидкости при указанных подвешенных осях координат могут быть применены уравнения Эйлера. В эти уравнения входит объемная сила F, действующая на единицу массы жидкости. В этом случае сила F будет слагаться из двух сил: силы тяжести и центробежной силы.
z | 12 | ||
r | A | ||
h I | V | h | |
О1 | zсв | Н | |
R | 2 | ||
q | r | ||
zо | z | ||
O | r | x | x |
y | |||
y | |||
Рис. 2.1. Схема равновесия жидкости во вращающемся сосуде
С тем, чтобы найти проекцию центробежной силы на оси координат, наметим внутри жидкости точку m и выделим у нее элементарную массу ∆М. Масса ∆М будет вращаться вокруг оси сосуда по окружности радиусом R в плоскости, нормальной к оси Oz сосуда. Центробежная сила, действующая на данную массу, будетравна (см. рис. 2.1):
J = V 2∆r M = ∆rM (ωr)=ω2r ∆M ,
где V − скорость движения массы∆M по окружности радиусаr. Центробежная сила, отнесенная к единице массы жидкости,
сосредоточенная в точкет:
j = ∆ΜJ =ω2 r
Кроме центробежной силы на любую частицу ∆M действует сила тяжести ∆Mg. Проекции вектора плотности распределенных массовых сил при этом равны:
− от сил тяжести
Fx1 =0 Fx1 = 0 ; Fy1 = 0 ; Fz1 = −g ;
− от переносной силы инерции
Fx2 =ω2x ; Fy2 =ω2 y ; Fz2 = 0 ,
где х и у − горизонтальные координаты точкит жидкости.
Пользуясь такой постановкой задачи, находим формы поверхностей равного давления и закон распределения давлений.
13
Форма поверхности равного давления
В соответствии с записью полного дифференциала функции p = p(x, y, z) в форме
dpm = p(Fxdx + Fydy + Fzdz) | (2.1) |
для поверхностей равного давления, где ∆pm=0, можно записать:
Fxdx + Fydy + Fzdz = 0
и после подстановок в него выраженийFx, Fy, Fz найдем.
ω2xdx +ω2 ydy − gdz =0
После интегрирования получаем:
ω2 | (x2 | + y2 )− gz = c | ||
2 | ||||
или поскольку | x2 | + y2 | = r2 | , то |
2r2 − gz = c | ||||
0,5ω | (2.2) | |||
Из уравнения (2.2) ясно, что поверхности равного давлений представляют собой семейство (совмещающихся при наложении) параболоидов вращения с вертикальной осью. Различным значениям постоянной с соответствуют разные параболоиды варщения.
Свободная поверхность также является поверхностью равного давления. во всех точках которой давление равно внешнему давлениюр0.
Найдем значения произвольной постоянной с для параболоида свободной поверхности. Координаты вершины параболоида x=0 y=0; zсв=z0. Подставив эти координаты в уравнение (2.2) получим:
c0 = −gz0 .
Уравнение свободной поверхности
zсв − z0 = ω2 (x2 + y2 )
2g | |
или | ω2r2 |
zсв − z0 | = |
2g | (2.3) |
Высота, на которую поднята над вершиной точка свободной поверхности (например N), равна:
h = zсв − z0 = ω2r2
2g
Ордината z0 вершины параболоида свободной поверхности жидкости при заданной угловой скорости зависит от объема, жидкости сосуда. От
14
объема будет зависеть частота ωкр, при которой будет переливаться жидкость через край при заданных высоте Ни радиусе R сосуда.
Закон распределения давлений
Используя дифференциальное уравнение равновесия жидкости (2.1), после интегрирования получаем:
ω2r2 | +c | |
p = ρ | 2 | − gz |
1 | ||
(2.4) |
Поставив в уравнение (4) координаты вершины параболоида
свободной поверхности r =0; z=z0 | и давление p=p0 ,находим | |||||||||||||||||
c1 = p0 −ρ(− gz)= p0 + ρgz0 | ||||||||||||||||||
Подставив найденное значениес1 | в уравнение (2.3) получим | |||||||||||||||||
p = p −ρg(z | − z)+ ρ | ω | 2 | r | 2 | − z + ω | 2 | r | 2 | |||||||||
= p | + ρg z | |||||||||||||||||
2 | 2g | |||||||||||||||||
ω2r2 | . | |||||||||||||||||
Так как | = h , то для любой точки | |||||||||||||||||
2g | ||||||||||||||||||
p = p0 + ρg(z0 − z +h) | ||||||||||||||||||
или | ||||||||||||||||||
p = p0 + ρgh , | ||||||||||||||||||
где h – глубина погружения точки над свободной поверхностью. | ||||||||||||||||||
В задаче необходимо найти давление на высоте | HZ = 0,5H3 при | |||||||||||||||||
частоте вращения ω3 | ||||||||||||||||||
Рекомендации по определению частоты вращения | ||||||||||||||||||
Объем жидкости в сосуде до вращения | ||||||||||||||||||
V =πR2H | (2.5) | |||||||||||||||||
где H0 − высота свободной поверхности жидкости при неподвижном | ||||||||||||||||||
сосуде. | ||||||||||||||||||
Объем жидкости при вращенииопределяется как | ||||||||||||||||||
R | ω2r | 2 | ||||||||||||||||
V1 = ∫ | 2g | |||||||||||||||||
z0 + | 6,28rdr | |||||||||||||||||
После интегрирования и подстановки предельных значении получаем
V | =πR2 | + | ω2R2 | |
z | 4g | |||
1 | (2.6) | |||
Задача 1. Жидкость коснется дна (рис. 2.2, а), когда координата z0=0. Так как до вращения и в процессе вращения объем жидкости
15
сохраняется, то приравняв (2.5) и (2.6) объемы V0 и V1, получаем угловую частоту вращения, при которой жидкость коснется дна;
n = 2ωπ
Задача 2. Жидкость коснется верхних кромок сосуда (рис. 2.2, б), когда выполняется условие (2.3):
z(R)= H1 = z0 | + | ω22R2 | (2.8) |
4g |
Так как объемы одинаковы при вращении и покое, то приравняв уравнения (2.5) и (2.6)
V0 =V2
получим
z0 + | ω2R2 | = H0 |
2 | (2.9) | |
4g |
в котором z0 определяется из выражения (2.8). После подстановки получаем частоту вращения сосуда, при которой жидкость коснется края сосуда:
ω2 = | 2 | g(H | − H0 ) | (2.10) |
R | ||||
Задача 3. Если в сосуде находится стержень высотой Н3 на расстоянии r3 от центра вращения, то его вершина будет находиться на свободной поверхности вращения (рис. 2, в), когда выполняется условие
z0 + | ω2r | 2 | = H3 , |
3 3 | (2.11) | ||
4g | |||
где ω3 -частота вращения, при которой вращается сосуд. Для определения Z0 используем уравнения (2.5) и (2.6):
H0 = z0 + | ω2 R2 |
3 | (2.12) |
4g |
Решая совместно (2.10) и (2.11), находим искомую частоту вращения ω3, когда вершина стержня коснется свободной поверхности
ω3 = 2 g(H0 − H3 ) R2 −r32
16
Из уравнения (2.12) видно, что при r > 0,701R ; H3 > H0 , а при r ≤ H3 < H0 будет до вращения находиться в воде.
Рис.2.2. Схемы экспериментальных установок к задачам
Порядок выполнения лабораторной работы
Получить задание, сгенерированное ЭВМ, согласно таблице 2.1.
Таблица 2.1. | |||||||||
№ | Дано | Найти | |||||||
п/п | R | H1 | P0 | H0 | R3 | H3 | ω | p | H2 |
1 | |||||||||
2 | 3 | ||||||||
Решить задачи и вычислить частоты вращения сосудов по известным угловым скоростям. Данные полученные в результате расчета должны иметь следующие размерности: частота вращения − об/мин; давление − МПа; линейные размеры − мм.
Экспериментальная проверка расчета проводится на ЭВМ(Mgs.exe, © БГТУ им. В.Г. Шухова, 2001.). Для этого по запросу компьютерной программы вводятся данные и результаты по первой, затем второй и третьей задачам. При неправильном решении компьютер показывает близкую к фактической картину расчета, выдает сообщение об ошибкеи генерирует новое задание по всем трем задачам.
17
Содержание отчета
Расчетная схема сосуда для каждого из трех заданий. Вывод расчетной формулы (по каждой из трех задач).
Исходные данные для расчета по каждой задаче с вычислениями и результатом. В скобках– результат, показанный ЭВМ. Распечатка ЭВМ.
Окончательный отчет принимается после контрольного опроса.
Контрольные вопросы
1.Записать формулу для центробежной силы, действующей на элементарную массу ∆М при вращении.
2.Записать полный дифференциал функции давленияp=p(x, y, z).
3.Записать общее уравнение поверхности равного давления.
4.Записать уравнение свободной поверхности для вращающегося сосуда.
5.Записать закон распределения давлений для вращающегося сосуда.
6.Записать уравнение объема покоящейся жидкости во вращающемся сосуде.
7.Записать уравнение объема жидкости во вращающемся сосуде.
8.Уметь вывести формулы частот вращений для каждой из задач.
Источник