Жидкость во вращающемся сосуде на расстояния от оси

Сегодня я заварил себе чай и задумался

Сегодня утром я задумался, пока размешивал два кубика сахара в чашке с только что заваренным чаем. Задумался о форме жидкости, которую она принимает при вращении. Безусловно, все представляют себе что будет, если очень быстро начать размешивать сахар в чашке с чаем. Мне захотелось рассмотреть этот банальный и привычный процесс подробнее и попытаться рассказать Вам немного интересного из физики окружающих нас в быту явлений.

Идея эксперимента

Давайте представим, что мы имеем некоторую цилиндрическую тару, в которой находится некоторая жидкость. Вращаться жидкость можно заставить, как минимум, двумя очевидными способами: размешать её каким-нибудь предметом или начать вращать цилиндрическую тару, что, благодаря силам трения между жидкостью и поверхностью сосуда, приведет к вращению жидкости, увлекаемой содержащим её вращающимся сосудам.

Физическая модель

Остановимся на втором варианте. Итак, у нас есть вращающийся с постоянной циклической частотой сосуд, в котором при динамическом равновесии с постоянной циклической частотой вращается жидкость в том же направлении.

Вырежем из всей жидкости элементарный бесконечно малый объем около поверхности и рассмотрим какие силы на него действуют. В силу симметрии задачи, будем ориентироваться на цилиндрические координаты, что заметно упростит расчеты.

Качественный расчет формы поверхности

Запишем второй закон Ньютона для элементарного кусочка объема жидкости:

К примеру, после размешивания ложкой сахара в чашке только что заваренного чая, жидкость вращается вокруг оси симметрии, отсюда наш элементарный кусочек объема имеет центростремительное ускорение. Поэтому спроецируем наш закон Ньютона на ось, совпадающую с радиусом-вектором от элементарного объема до оси симметрии. Не будем учитывать вязкость и поверхностное натяжение. Сила, сообщающая центростремительное ускорение (в правой части нашего закона движения) возникнет из-за разности давлений столбов жидкости, что можно увидеть на увеличенной части первого рисунка.

Таким образом, у нас получится следующее выражение:

, где , а та самая сила определится как , где площадью эффективного сечения обозначена та площадь нашего элементарного объема, на которую действует разница давлений столбов жидкости .

Получаем силу

Масса нашего элемента объема определяется по знакомой всем формуле , а сам объем будет равен (элементарный объем в цилиндрических координатах).

В итоге, 2 закон Ньютона для нашей маленькой задачки расписывается в следующее выражение:

После небольших сокращений и преобразований получаем:

Теперь проинтегрируем обе части выражения, используя неопределенные интегралы:

Детальный расчет формы поверхности

Теперь мы получили вполне ясную зависимость для формы поверхности и с уверенностью можем сказать, что это параболоид. Но нам неизвестна постоянная величина . Давайте её определим для полного понимания физики процесса.

Так как объем жидкости не меняется (мы считаем, что не пролили ни капли, пока размешивали наш чай ツ), то запишем объемы до вращения и во время вращения с постоянной циклической частотой.

До вращения:

, где – это высота жидкости в цилиндрической поверхности в спокойном состоянии (вращения нет).

Во время вращения:

Данные объемы равны, поэтому:

Отсюда выражается ранее неизвестная постоянная:

И окончательное уравнение формы поверхности вращающейся жидкости имеет вид:

или преобразовав

Некоторые заметки

Хотелось бы обратить внимание на то, что форма поверхности зависит от частоты вращения, ускорения свободного падения, геометрических параметров сосуда, первоначального объема жидкости, но не зависит от плотности жидкости. Это выражение мне показалось довольно интересным, так как с его помощью можно легко смоделировать примерное расположение жидкости внутри вращающегося вокруг своей оси симметрии цилиндрического сосуда. Для этого можно воспользоваться MathCAD’ом и построить несколько графиков.

Графическое представление результатов расчета

Возьмем вполне реальные параметры системы, соизмеримые с размерами чашки или стакана.

Радиус цилиндрической поверхности:

Высота жидкости в цилиндрической поверхности без вращения:

Ускорение свободного падения:

Циклическая частота вращения цилиндрической поверхности:

(Все значения этих величин заданы в системе Си)

Далее перепишем нашу функцию для её отображения в MathCAD.

Для 2D отображения сечения:

Для 3D отображения поверхности:

В качестве изменяющегося параметра будем менять циклическую частоту вращения . Результаты можно наблюдать на рисунках ниже:

При циклической частоте

При циклической частоте

При циклической частоте

При циклической частоте

При циклической частоте

При циклической частоте

Выводы

Видно, что если циклическая частота превысит значение , то мы увидим дно вращающегося цилиндрического сосуда, и, начиная с этой частоты, жидкость будет плавно «переходить» на стенки сосуда, всё сильнее оголяя дно. Очевидно, что при очень больших частотах вся жидкость растечется по стенкам сосуда. Теперь мы знаем все параметры такой жидкости. Зная её уравнение, не составит большого труда рассчитать толщину слоя жидкости на стенке сосуда на определенной высоте при определенной частоте.

upd. Отдельно хотелось бы подчеркнуть те противоречащие друг другу допущения, которые были приняты при рассмотрении задачи:

1. Считалось что, жидкость вращается благодаря вращению сосуда, который её содержит. Это может быть только при учете внутреннего трения, вязкости и поверхностного натяжения.

2. Но при выводе формы поверхности эти явления не учитываются для того, чтобы упростить решение и показать только качественный результаты моделирования. Т.е. решение немного противоречит описываемой изначально модели. Учет всех явлений, включая нелинейность процесса при высоких частотах, настолько бы усложнил задачу, что её вряд ли можно было бы решить аналитически и показать примерную и понятную модель для человека, который не связан с математикой/физикой.

3. Цель состоялась в том, чтобы показать лишь очень приближенное и самое простое решение, включающее в себя ряд допущений.

Источник

В зависимости от характера действующих массовых сил поверхность равного давления в жидкости, как и свободная поверхность, может принимать различную форму. Ниже рассматриваются некоторые случаи равновесия жидкости в движущихся сосудах.

1. Жидкость находится в сосуде, который движется в горизонтальном направлении с постоянным ускорением ±а (знак плюс соответствует ускорению сосуда, знак минус – замедлению ) (см. рисунок).

В данном случае жидкость подвержена воздействию не только поверхностных сил, но также массовых сил тяжести и инерции. Поверхность равного давления является наклонной плоскостью. Давление в любой точке жидкости определяется по формуле

p = p0 + ρ·(g·z ± a·x),

Для свободной поверхности жидкости, когда р=p0, уравнение принимает вид:

g·z = ± a·x

или

z/x = tg α = ± a/g,

где α – угол наклона свободной поверхности жидкости к горизонту.

Последнее приведенное выше выражение позволяет определять (при условии, чтобы жидкость не переливалась через задний борт сосуда длиной l) высоту борта h при заданном значении а или предельное ускорение а при заданном значении h.

Если сосуд движется равномерно (а = 0), уравнение приводим к виду:

p = p0 + ρ·g·z = p0·γ

В этом случае поверхность равного давления представляет горизонтальную плоскость.

2. Жидкость находится в открытом цилиндрическом сосуде, который вращается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью ω.

В данном случае жидкость подвержена воздействию не только поверхностных сил, но также массовых сил тяжести и центробежной.

Поверхность равного давления представляет параболоид вращения. Распределение давления в жидкости по глубине определяется выражением:

p = p0 + γ·((ω2·r2)/(2·g) – z)

Для любой точки свободной поверхности жидкости, когда p = p0, уравнение принимает вид:

z = (ω2·r2)/(2·g) = u2/(2·g),

где окружная скорость u = ω·r (r – радиус вращения точки).

Высота параболоида вращения:

h = ω2·r20/(2·g),

где r0 – радиус цилиндрического сосуда.

Сила давления жидкости на дно сосуда:

P = γ·π·r20·h0 = γ·π·r20·(h1 + h/2),

где h0 – начальная глубина жидкости в сосуде до момента его вращения.

Давление на боковую стенку сосуда изменяется по линейному закону. Эпюра давления представляет прямоугольный треугольник ACD с высотой h1 + h и основанием γ·(h1 + h).

3. Жидкость находится в цилиндрическом сосуде, который вращается вокруг горизонтальной оси с постоянной угловой скоростью ω.

В данном случае жидкость также подвержена воздействию массовых сил тяжести и центробежной.

Поверхности равного давления представляют концентрически расположенные боковые поверхности цилиндров, оси которых горизонтальны и смещены относительно оси оу на величину эксцентриситета e = g/ω2 (см. рисунок а).

При большом числе оборотов сосуда влияние силы тяжести по сравнению с влиянием центробежной силы становится незначительным, и, следовательно, величиной эксцентриситета е можно пренебречь. Тогда поверхности равного давления становятся концентрическими цилиндрами, оси которых совпадают с осью сосуда (см. рисунок б).

Распределение давления по глубине жидкости определяется выражением:

p = p0 + γ·ω2·(r2 – r20)/(2·g)

где p и p0 – соответственно давления в точках цилиндрических поверхностей с радиусами r и r0.

Данное уравнение справедливо и тогда, когда сосуд радиусом r лишь частично заполнен жидкостью. Свободная поверхность жидкости в этом случае также будет цилиндрической с радиусом r0 и давлением во всех ее точках р0.

Как видно из последнего уравнения, закон распределения давления по радиусу является параболическим. Эпюра давления представленная на рисунке в. Такие приближенные решения могут применяться при любом положении оси вращения сосуда, однако при условии большого числа его оборотов.

Вильнер Я.М. Справочное пособие по гидравлике, гидромашинам и гидроприводам.

Источник

Возьмем открытый цилиндрический сосуд с жидкостью и сообщим ему постоянную угловую скорость w вращения вокруг вертикальной оси. Жидкость постепенно приобретет ту же угловую скорость, что и сосуд, а свободная поверхность ее видоизменится: в центральной части уровень жидкости понизится, у стенок – повысится, и вся свободная поверхность жидкости станет некоторой поверхностью вращения (рис. 2.11).

На жидкость в этом случае будут действовать две массовые силы, сила тяжести и центробежная сила, которые, будучи отнесенными к единице массы, соответственно равны g и w2r. Равнодействующая массовая сила j увеличивается с увеличением радиуса за счет второй составляющей, а угол наклона ее к горизонту уменьшается. Эта сила нормальна к свободной поверхности жидкости, поэтому угол наклона поверхности к горизонту возрастает с увеличением радиуса. Найдем уравнение положения свободной поверхности.

Рис. 2.11

Учитывая, что сила j нормальна к свободной поверхности, получим

отсюда

или после интегрирования

В точке пересечения свободной поверхности с осью вращения C = h, поэтому окончательно будем иметь

(2.10)

т. е. свободная поверхность жидкости является параболоидом вращения.

Максимальную высоту подъема жидкости можно определить исходя из равенства объемов неподвижной жидкости и жидкости во время вращения.

На практике очень часто приходится иметь дело с вращением сосуда, заполненного жидкостью, вокруг горизонтальной оси. При этом угловая скорость w столь велика, что сила тяжести на порядок меньше центробежных сил, и ее действие можно не учитывать. Закон изменения давления в жидкости для этого случая получим из рассмотрения уравнения равновесия элементарного объема с площадью основания dS и высотой dr, взятой вдоль радиуса (рис. 2.12). На выделенный элемент жидкости действуют силы давления и центробежная сила.

Обозначив давление в центре площадки dS, расположенной на радиусе r, через p, а в центре другого основания объема (на радиусе r + dr) через p + dp, получим следующее уравнение равновесия выделенного объема в направлении радиуса

или

Рис. 2.12

После интегрирования

Постоянную C найдем из условия, что при r = r0 p = p0.

Следовательно

Подставив ее значение в предыдущее уравнение, получим связь между p и r в следующем виде:

(2.11)

Очевидно, что поверхностями уровня в данном случае будут цилиндрические поверхности с общей осью – осью вращения жидкости.

Часто бывает необходимо определить силу давления вращающейся вместе с сосудом жидкости на его стенку, нормальную к его оси вращения. Для этого определим силу давления, приходящуюся на элементарную кольцевую площадку радиусом r и шириной dr. Используя формулу (2.11), получим

а затем следует выполнить интегрирование в требуемых пределах.

При большой скорости вращения жидкости получается значительная суммарная сила давления на стенку. Это используется в некоторых фрикционных муфтах, где для сцепления двух валов требуется создание больших сил давления.



Источник

Страницы работы

Содержание работы

Министерство образования Российской Федерации

ГОУВПО

“Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет”

Кафедра “Кораблестроение”

ИЗУЧЕНИЕ ОТНОСИТЕЛЬНОГО ПОКОЯ ЖИДКОСТИ ВО ВРАЩАЮЩЕМСЯ СОСУДЕ

Методические указания к лабораторной работе по курсам

“Гидравлика, гидромашины и гидропривод”,

“Прикладная механика жидкости и газов”,

“Гидравлика и гидромашины”,

“Гидрогазодинамика”

Комсомольск-на-Амуре 2003

УДК 621.225

Изучение относительного покоя жидкости во вращающемся сосуде / Сост. А.В.Космынин, И.В.Каменских – Комсомольск-на-Амуре:

«Комсомольский-на-Амуре гос. тех. ун-т», 2003. – 6 с.

Представлены основные выражения для расчета параметров формы свободной поверхности жидкости во вращающемся сосуде. Описаны лабораторная установка и методика обработки данных.

Методические указания рекомендуются для студентов специальностей 330100, 230300, 552600, 140200, 120300, 120500, 120100, 290500, 170500, 551800, 130100.

Печатается по постановлению редакционно-издательского совета ГОУВПО «Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет».

Согласовано с отделом стандартизации и метрологии.

Рецензент В.С. Виноградов

Цель работы: построить линию свободной поверхности в координатах x-z, сравнить линию построенную на основании опыта, с полученной аналитическим путем.

1 ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Вертикальный цилиндрический сосуд (см. рисунок 1), наполненный капельной жидкостью, вращается вокруг своей вертикальной оси с постоянной угловой скоростью w. Заключенная в нем жидкость, вследствие ее вязкости увлекаемая сосудом, вращается вместе с ним с той же угловой скоростью и, следовательно, находится в покое относительно сосуда. Требуется построить свободную поверхность жидкости во вращающемся сосуде, пользуясь теоретическими и опытными данными, и сравнить полученные результаты.

Для определения аналитическим способом формы свободной поверхности жидкости во вращающемся сосуде воспользуемся дифференциальным уравнением поверхностей равного давления, справедливым в случае покоя жидкости (абсолютного или отно­сительного) и имеющим вид

, (1)

где X, Y, Z- проекции на соответствующие оси координат объемных сил, действующих на жидкость и отнесенных к единице массы ее; dx, dy, dz- произвольные приращения координат.

В рассматриваемом нами случае относительного покоя жидкости на нее действуют объемные силы:

1. Сила тяжести, направленная вертикально вниз: величина ее в любой точке равна массе жидкости m сосредоточенной в этой точке, умноженной на ускорение силы тяжести g.

2. Центробежная сипа инерции, направленная по радиусу цилиндра от оси вращения; величина ее в некоторой точке, находящейся на расстоянии r от этой оси, для массы жидкости m, сосредоточенной в данной точке, равна .

Взяв начало координат в точке О пересечения свободной поверхности с осью вращения сосуда и направив оси координат, как показано на рисунке 1, получим следующие значения.

;

;

.

Подставляя эти значения X, Y, Zв уравнение (1), получим

.

Интегрируя это уравнение имеем:

,

откуда

. (2)

В рассматриваемом случае относительного покоя капельной жидкости полученное уравнение (2) является уравнением поверхностей равного давления, образующих семейство параболоидов вращения вокруг оси.

Постоянную интегрирования для свободной поверхности жидкости, также являющейся поверхностью равного давления, определим из того условия, что для нее при x=y=0 и z=0.

Тогда получим, что С=0.

Подставляя это значение С в уравнение (2) и имея в виду, что , получим в выбранной системе координат следующее уравнение свободной поверхности жидкости во вращающемся сосуде:

. (3)

Пользуясь этим уравнением при заданной угловой скорости вращения сосуда (n – частота вращения вала, мин-1), легко построить свободную поверхность жидкости в нем.

Определение формы свободной поверхности жидкости во вращающемся сосуде производится с помощью специального прибора (см. рисунок 1).

2 ВЫПОЛНЕНИЕ ОПЫТА

Для проведения опыта по определению формы свободной поверхности жидкости во вращающемся сосуде сначала определяют величину угловой скорости его вращения и после того, как установится покой жидкости относительно сосуда, с помощью мерной иглы измеряют расстояние по вертикали от планки Г до свободной поверхности жидкости в различных точках, находящихся в момент измерения в плоскости диаметрального сечения сосуда, параллельной планке Г. Измерив такие расстояния при разных значениях радиуса r, определяемого по делениям планки Г, по точкам строят искомую свободную поверхность жидкости во вращающемся сосуде и сравнивают ее со свободной поверхностью, найденной на основании теоретических вычислений по уравнению (3), при тех же, что и в опытах, значениях w и r.

Это дает возможность выяснить, в какой мере результаты теоретических вычислений подтверждаются опытами.

Все результаты опытных наблюдений, измерений и необходимых вычислений сводятся в таблицу 1.

Таблица 1 – Результаты

Поданным таблицы необходимо построить две свободные поверхности жидкости во вращающемся сосуде; одна – соответствующая теоретическим вычислениям, а другая – опытным данным.

3 ТРЕБОВАНИЯ К ОТЧЕТУ

Отчет по работе должен содержать:

· схему установки и ее краткое описание;

· основные теоретические положения;

· таблицу опытных данных;

· графическое изображение линии свободной поверхности, полученной на основании опыта и аналитическим путем;

· краткие выводы.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Башта Т.М. и др., Гидравлика, гидравлические машины и гидравлические приводы, 1982. – 423 с.

2. Задачник по машиностроительной гидравлике /Под ред. И.И. Куколевского и Л.Г. Подвидза. – М.: Машиностроение, 1981. – 464 с.

Похожие материалы

• Сифонный трубопровод: Методические указания к лабораторной работе
• Напорное неустановившееся движение жидкости. Гидравлический удар
• Экспериментальная проверка основного закона гидростатики: Методические указания к лабораторной работе

Информация о работе

Тип:

Методические указания и пособия

Уважаемый посетитель!

Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).

Ссылка на скачивание – внизу страницы.

Источник