Объем цилиндрического сосуда заполненного жидкостью
Решение №1
- Давайте посчитаем объём жидкости в первом сосуде: (V = pi r^2 times 16)
- Посчитаем тот же объём во втором сосуде, предположив, что там вода поднялась на h: (V=pi left(2rright)^2times h=4pi r^2times h)
- Так как переливали один и тот же объём воды, объёмы, вычисленные выше в обоих сосудах, равны. То есть:
(begin{eqnarray} pi r^2times 16 &=& 4pi r^2times h \ 16 &=& 4h \ h &=& 4 end{eqnarray})
Таким образом, высота воды во втором сосуде равна 4 см.
Решение №2
Объем цилиндрического сосуда выражается через его диаметр и высоту как:
(V=Hfrac{pi d^2}{4})
При увеличении диаметра сосуда в 2 раза высота равного объёма жидкости уменьшится в 4 раза и станет равна 4.
Ответ: 4
ЕГЭ-Центр «Пять с плюсом» основан в 2008 году. С основания и по настоящий момент Центр возглавляет Елизавета Владимировна Глазова, мать пятерых детей, профессиональный педагог и преподаватель русского языка и литературы.
Запрос успешно отправлен. В ближайшее время расширенный доступ будет предоставлен.
– Oбразование как Стиль Жизни
Присылайте свои колонки
и предложения
У вас есть интересная новость
или материал из сферы образования
или популярной науки?
Расскажите нам!
© 2014-2020 Newtonew. 12+
Просветительский медиа-проект об образовании,
посвящённый самым актуальным и полезным
концепциям, теориям и методикам, технологиям
и исследованиям, продуктам и сервисам. Мы
говорим о том, как развиваются и изменяются
образование и наука.
Копирование материалов возможно только
с разрешения редакции Newtonew.
Мы используем файлы cookie для улучшения пользовательского опыта. Подробнее вы можете посмотреть в нашем пользовательском соглашении.
Авторизация на сайте
Вход через соц.сети:
Напомнить пароль
Введите email, на который вы зарегистрированы:
назад
Пароль выслан
Мы выслали ваш пароль для входа в систему на указанный email.
Не забывайте о том, что вы можете авторизоваться в системе через социальные сети. Если при регистрации в соц.сетях вы указывали тот же email что и на нашем сайте, то после авторизации вы попадете в свой профиль.
Вход через соц.сети:
Подтвердите регистрацию
На указанный e-mail было отправлено письмо со ссылкой. Пожалуйста, перейдите по ссылке для подтверждения.
Вход через соц.сети:
Регистрация подтверждена
Вы успешно зарегистрировались
Источник
Часть задач есть решенные, https://vk.com/id5150215
Р.165.1
Задача 1.1.
Определить динамическую вязкость, удельный вес и относительный вес нефти, если ее вязкость, определенная вискозиметром Энглера, составляет _____°Е, а плотность ρ = _____ кг/м3.
Задача 1.2.
Определить повышение давления масла в закрытом объеме гидропривода при повышении температуры от t1 = ___°С до t2 = __°C, и необходимый минимальный свободный объем гидросистемы для компенсации температурного расширения масла. Коэффициент температурного расширения равен βt = 8 · 10-4 °С-1, коэффициент объемного сжатия βр = 6,5 · 10-4 МПа-1, объем гидросистемы (объем масла после его нагрева) Wк = ____ л. Утечками жидкости и деформацией элементов конструкции объемного гидропривода пренебречь.
Задача 1.3.
Три капиллярные трубки диаметрами d = ____ мм каждая опущены в воду, ртуть и спирт (рис. 1). На какую высоту поднимется или опустится каждая из жидкостей в капиллярах?
1,3
Задача 1.4.
Две плоские стеклянные пластинки опущены нижними концами в воду параллельно друг другу (рис. 2), расстояние между ними d = ______ мм. Определить дополнительное давление, возникающее в воде от действия сил поверхностного натяжения рпов, а также высоту h, на которую поднимется жидкость между пластинами. Коэффициент поверхностного натяжения воды σ принять равным 7,2 · 10-2 Н/м.
1,4
Задача 1.5.
Капиллярная трубка (рис. 3) с внутренним диаметром d = ___ мм наполнена водой. Часть воды повисла внизу в виде капли, которую можно принять за часть сферы радиусом 5 мм. Определить дополнительные давления рдоп1 и рдоп2, возникающие от действия сил поверхностного натяжения, искривляющие верхний и нижний мениски.
Чему будут равны эти давления, если вместо воды в капилляре будет находиться: а) спирт; б) бензин? Температуру жидкостей принять равной 20°С.
1,5 1,6
Задача 1.6.
Капиллярная трубка (см. рис. 3) с внутренним диаметром d = ___ мм наполнена водой. Часть воды повисла внизу в виде капли, которую можно принять за часть сферы радиусом 2 мм. Определить высоту h столбика воды в трубке.
Температура воды 20°С.
1,5 1,6
Задача 1.7.
Стальной трубопровод заполненный водой при t1 = ____ °С находится под давлением р = ___ МПа. Диаметр трубопровода d = ____ м, длина _____ км. Определить давление воды в трубопроводе при повышении температуры до t2 =__С.
Задача 2.1.
В герметически закрытом сосуде (рис. 4) налиты две не смешивающиеся жидкости. Удельный вес жидкости, образующей верхний слой γ1 = ___ кН/м3, толщина этого слоя h1 = _____ м.
Удельный вес жидкости нижнего слоя γ2 = ___ кН/м3. Ниже линии раздела на глубине h2 = ___ м присоединен открытый пьезометр. Выше линии раздела на величину h3 = ____ м присоединен манометр на трубке, длина которой h4 = ___ м. Показание манометра p =____ кПа. На какую высоту hx поднимется жидкость в открытом пьезометре?
Определить избыточное давление на свободной поверхности жидкости в сосуде.
2,1
Задача 2.2.
Герметичный сосуд (рис. 5) частично заполнен жидкостью с удельным весом γ = ___ кН/м3 на высоту h1 = ___ м. На высоте h2 = ____ м от дна сосуда подключена запаянная сверху трубка, из которой откачан практически полностью воздух. Выше уровня свободной поверхности жидкости к сосуду присоединена U-образная трубка, заполненная ртутью (ρ = 13600 кг/м3). Уровень ртути в правой ветви на h3 = ___ м выше, чем в левой. Атмосферное давление принять равным 100 кПа. Определить: 1) абсолютное давление на свободной поверхности жидкости в сосуде; 2) на какую высоту поднимется жидкость в запаянной трубке, если давление паров жидкости равно нулю?
2,2
Задача 2.3.
Два резервуара (рис. 6), основания которых расположены в одной горизонтальной плоскости, заполнены разными жидкостями с удельными весами γ1 = ____ кН/м3 и γ2 = ____ кН/м3, соединены изогнутой трубкой, в которой находится некоторое количество ртути между точками А и В и воздушный пузырь между точками В и С. Уровень свободной поверхности жидкости в пьезометре, подключенном к правому резервуару, относительно горизонтальной плоскости h6 = __ м. Высота установки манометра р1 относительно той же плоскости h1 = __ м, вертикальные расстояния до точек А, B, C, D соответственно h2 = ___ м, h3 = ___ м, h4 = ___ м, h5 = ___ м. Плотность ртути ρрт = 13600 кг/м3, атмосферное давление ратм = 98,1 кПа. Определить: 1) показания манометров р1 и р2; 2) избыточные давления в точках А, B, C, D; 3) избыточное и абсолютное давление на дне каждого резервуара.
2,3
Задача 2.4.
В герметически закрытом сосуде (рис. 7) налиты две не смешивающиеся жидкости. Удельный вес жидкости, образующей верхний слой γ1 = ___ кН/м3, толщина этого слоя h1 = ____ м. Удельный вес жидкости нижнего слоя γ2 = ____ кН/м3. Ниже линии раздела на глубине h2 = ___ м присоединен открытый пьезометр. Выше линии раздела на величину h3 = ___ м присоединен манометр на трубке, длина которой h4 =__м. На какую высоту hx поднимется жидкость в открытом пьезометре? Определить избыточное давление на свободной поверхности жидкости в сосуде.
2,4
Задача 2.5.
Герметичный сосуд (рис. 5) частично на высоту h1 = _____ м. заполнен жидкостями с удельными весами γ1 = ____ кН/м3 и γ2 = ____ кН/м3. На высоте h2 = __ м от дна сосуда подключена запаянная сверху трубка, из которой откачан практически полностью воздух. Выше уровня свободной поверхности жидкости к сосуду присоединена U-образная трубка, заполненная ртутью (ρ = 13600 кг/м3). Уровень ртути в правой ветви на h3 = ___ м выше, чем в левой. Атмосферное давление принять равным 100 кПа. Определить: 1) абсолютное давление на свободной поверхности жидкости в сосуде, если уровень второй жидкости в сосуде h4 = ___ м; 2) на какую высоту поднимется жидкость в запаянной трубке, если давление паров жидкости равно нулю?
2,5
Задача 2.6.
Две не смешивающиеся жидкости налиты в герметически закрытый сосуд (рис. 9). Удельный вес жидкости, образующей верхний слой γ1 = ____ кН/м3, толщина этого слоя h1 = ___ м. Удельный вес жидкости нижнего слоя γ2 = __ кН/м3. Ниже линии раздела на глубине h2 = __ м присоединен открытый пьезометр. Выше линии раздела на величину h3 = ___ м присоединен манометр на трубке, длина которой h4 = ___ м. Показание манометра p =___ кПа. На какую высоту hx поднимется жидкость в открытом пьезометре? Определить избыточное давление на дне сосуда.
2,6
Задача 2.7.
Определить абсолютное давление на свободной поверхности жидкости в сосуде и высоту на какую поднимется жидкость в запаянной трубке (при давление паров жидкости равным нулю), если герметичный сосуд (рис. 10) частично заполнен жидкостью с удельным весом γ = ___ кН/м3 на высоту h1 = ___ м. На высоте h2 = ___ м от дна сосуда подключена запаянная сверху трубка, из которой откачан практически полностью воздух. Выше уровня свободной поверхности жидкости к сосуду присоединена U-образная трубка, заполненная ртутью (ρ = 13600 кг/м3). Уровень ртути в правой ветви на h3 = ___ м выше, чем в левой. Атмосферное давление принять равным 100 кПа. Чему равно абсолютное давление жидкости на дне сосуда?
2,7
Задача 3.1.
Определить усилие, приложенное к рычагу ручного насоса (рис. 11), если усилие, развиваемое гидравлическим прессом P = ____ кН. Диаметры: d = ____ м; D = ___ м. Вес прессуемого тела и большого поршня принять равным G = __ кН. Длина плеч рычага: а = ___ м; b = ___ м. КПД пресса – η = ___.
3,1
Задача 3.2.
Определить жесткость пружины с, если под давлением жидкости р = ___ МПа поршень пружинного гидроаккумулятора диаметром d = ____ мм во время зарядки поднялся вверх на высоту z = ___ см (рис. 12).
3,2
Задача 3.3.
Гидравлический мультипликатор (рис. 13) получает от насоса жидкость под избыточным давлением р1 = __ МПа. При этом поршень с диаметрами D = ___ мм и d = ____ мм перемещается вверх, создавая на выходе из мультипликатора давление р2. Вес подвижной части мультипликатора G = ___ кН. Определить давление р2, приняв кпд мультипликатора η = _____.
3,3
Задача 3.4.
Определить усилие, развиваемое гидравлическим прессом P (рис. 14), если сила, приложенная к рычагу ручного насоса Q = ___ кН. Диаметры: d = ___ м; D = ___ м; вес прессуемого тела и большого поршня принять равным G1 = __ кН, вес малого поршня G2 = ___ кН.
Длина плеч рычага: а = ________ м; b = ____ м. КПД пресса η = ___.
3,4
Задача 3.5.
На какую высоту z поднимется поршень пружинного гидроаккумулятора во время зарядки под давлением жидкости р = ___ МПа, если жесткость пружины с = ___ Н/мм. Поршень пружинного гидроаккумулятора имеет диаметр d = _____ мм; вес поршня G = _____ кН (рис. 15).
3,5
Задача 3.6.
Определить прессующую силу P (рис. 16), если сила, приложенная к рычагу ручного насоса Q = _ кН.
Диаметры: d = ___ м; D = ___ м; вес прессуемого тела G1 = ___ кН, вес большого поршня принять равным G2 = ___ кН, вес малого поршня G3 = ___ кН. Длина плеч рычага: а =___м; b = ___ м. КПД пресса η = ___.
3,6
Задача 3.7.
На рисунке 17 представлена схема гидравлического мультипликатора, который получает от насоса жидкость под избыточным давлением р1 = ___ МПа. При этом поршень с диаметрами D = ___ мм и d = ___ мм перемещается вверх, создавая на выходе из мультипликатора давление р2. Вес подвижной части мультипликатора G = _____ кН. Определить силу Р2 и избыточное давление р2. КПД мультипликатора принять равным η = 0,90.
3,7
Задача 4.1.
Определить силу Т, которую необходимо приложить к тросу (рис. 18), прикрепленному к нижней кромке плоского круглого затвора диаметром d = ___ мм, закрывающего отверстие трубы. Затвор может вращаться вокруг шарнира А.
Глубина воды над верхней кромкой затвора h = ___ м. Угол наклона троса к горизонту составляет 45°.
4,1
Задача 4.2.
Трубопровод диаметром d = ____ м перекрыт круглым дроссельным затвором (рис. 19), вращающимся на горизонтальной оси. Слева от затвора трубопровод заполнен водой под избыточным давлением pм = 245,25 кПа. Определить величину момента, при котором затвор не откроется под действием давления воды.
4,2
Задача 4.3.
Определить силу гидростатического давления, действующую со стороны жидкости на круглую вертикальную стенку диаметром d = __ м, а также координату центра давления, если плотность жидкости ρ = ___кг/м3, избыточным давлением pм = ___ кПа (рис. 20).
4,3
Задача 4.4.
На рисунке 21 представлены четыре стенки, наклоненные к горизонтальной плоскости под углом 90°, 60°, 45° и 30°, соответственно. Ширина каждой из стенок b =_____ м. Определить силу гидростатического давления воды на каждую из стенок, если уровень воды h = ______ м, на свободную поверхность воды действует атмосферное давление. На каком вертикальном расстоянии от свободной поверхности находится центр давления?
4,4
Задача 4.5.
Определить силы избыточного гидростатического давления, давления, действующие на грани пирамиды, плавающей в жидкости плотностью ρ = ___ кг/м3, а так же координаты точек приложения этих сил. Поперечное сечение пирамиды – равнобедренный треугольник, имеющий ширину основания b = __ м, длину l = __ м, высоту h = __ м, вершина треугольника расположена внизу, γ = __ м (рис. 22).
4,5
Задача 4.6.
Как изменится сила гидростатического давления для каждой из стенок (рис. 23), если на свободной поверхности жидкости создать: 1) избыточное давление р01 = ____ кПа; 2) вакуумметрическое давление р02 = ____ кПа? Стенки наклонены к горизонтальной плоскости под углом 90°, 60°, 45° и 30°, соответственно; ширина каждой из стенок b =___ м; уровень воды h = ___ м.
На каком вертикальном расстоянии от свободной поверхности находится центр давления?
4,6
Задача 4.7.
Определить силу гидростатического давления, действующую со стороны жидкости на круглую вертикальную стенку диаметром d = ____ м, а также координату центра давления, если плотность жидкости ρ = _____кг/м3, вакуумметрическое давлением pв = ____ кПа (рис. 24).
4,7
Задача 5.1.
Цилиндрический резервуар (рис. 25) заполнен жидкостью (ρ = ____ кг/м3), находящейся под избыточным давлением, характеризуемым показанием пьезометра hр = ___ м. Дно резервуара плоское, крышка имеет форму полусферы. Определить силу Рх, разрывающую цилиндрическую часть резервуара по образующей, и силу Рz, отрывающую крышку от цилиндрической части, если диаметр d = ___ м, высота Н = __ м.
5,1
Задача 5.2.
Цилиндрический резервуар (рис. 26) заполнен жидкостью (ρ = ______кг/м3), находящейся под избыточным давлением. Дно резервуара плоское, крышка имеет форму полусферы. Определить силу Рх, разрывающую цилиндрическую часть резервуара по образующей, и силу Рz, отрывающую крышку от цилиндрической части, если диаметр d = ____ м, высота Н = ____ м, показание манометра рм = ____ кПа. Высотой установки манометра пренебречь.
5,2
Задача 5.3.
Найти максимальное давление, которое может быть сообщено жидкости в металлической трубе (рис. 27) диаметром d = ______ мм и толщиной стенок δ = ______ мм. Допускаемое напряжение на растяжение в материале стенок трубы принять σ = ______ МПа, весом жидкости пренебречь.
5,3
Задача 5.4.
Определить минимальную толщину δ стенок водопроводной трубы (рис. 28) диаметром d = ____ мм, если давление воды р = ___ МПа. Допускаемое напряжение на растяжение, возникающее в материале стенок трубопровода только от давления жидкости, σ =___ МПа.
5,4
Задача 5.5.
Цилиндрический резервуар (рис. 29) заполнен жидкостью (ρ = ______кг/м3), находящейся под избыточным давлением. Дно резервуара имеет форму полусферы. Определить силу Рх, разрывающую цилиндрическую часть резервуара по образующей, и силу Рz, отрывающую дно от цилиндрической части, если диаметр d = ______ м, высота Н = _____ м, показание манометра рм = ____ кПа. Высотой установки манометра пренебречь.
5,5
Задача 5.6.
Определить силу Р избыточного давления воды действующие на крышку ab (рис. 30). Крышка имеет форму четверти круглого цилиндра радиусом r =___ м. Ширина конструкции 1,0 м. Глубина воды h = ____ м. Построить тело давления и найти угол, под которым направлена эта сила к горизонту.
5,6
Задача 5.7.
Определить силу Р избыточного давления воды действующие на крышку ab (рис. 31). Крышка имеет форму половины круглого цилиндра радиусом d = ___ м. Ширина конструкции 1,0 м. Глубина воды h = ____ м. Построить тело давления и найти угол, под которым направлена эта сила к горизонту.
5,7
Задача 6.1.
Для перевозки жидкостей на площадке грузового автомобиля установлен открытый резервуар длиной l = ______ м (рис. 32). Определить, на какую высоту поднимется уровень жидкости при торможении машины, если скорость движения автомобиля υ = ___ км/ч, время торможения t = _____ с.
6,1
Задача 6.2.
Цилиндрический сосуд (рис. 33), полностью заполненный жидкостью, движется прямолинейно с ускорением а = _______. Определить силы, действующие на стенки А и B. Плотность жидкости ρ = ____ кг/м3. Длина сосуда L = ___ м, диаметр D = ______ м. Избыточное давление в точке 1 принять равным нулю.
6,2
Задача 6.3.
В сосуд высотой Н = ____ м и диаметром D = ____ мм налили воду до уровня h = ____ м (рис. 34). Определить максимальную частоту, с которой должен вращаться сосуд, чтобы вода из него не выплеснулась.
6,3
Задача 6.4.
Цилиндрический сосуд (рис. 35), заполненный на 1/2 своего объема маслом, вращается относительно горизонтальной оси с постоянной угловой скоростью ω = _______ с-1. Определить, пренебрегая действием силы тяжести, силу давления масла на торцевую стенку сосуда. Диаметр сосуда D = _____ мм, удельный вес масла γ = _______ кН/м3.
6,4
Задача 6.5.
Заполненный жидкостью резервуар (рис. 36) поднимается на вертикальном грузовом подъемнике с ускорением а = __ м/с2. Чему будет равно давление, создаваемое жидкостью на глубине h = ___ м от свободной поверхности, если относительный вес жидкости δ = _____, давление на свободную поверхность р0 = ____ кПа? Как изменится это давление, если резервуар будет опускаться вниз с тем же ускорением?
6,5
Задача 6.6.
В кузов автомобиля-самосвала до уровня h1 = ___ м налит цементный раствор. Кузов имеет форму прямоугольной коробки размерами l = ___ м, h = __ м, b = __ м.
Определить: 1). Каким должен быть допустимый тормозной путь автомобиля от скорости υ = _____ км/ч до полной остановки, чтобы раствор не выплеснулся из кузова. Движение автомобиля при торможении равнозамедленное. 2). Силы избыточного давления раствора на переднюю и заднюю стенки кузова при торможении. Плотность раствора принять равным 1500 кг/м3.
6,6
Задача 6.7.
Сосуд, наполненный водой до высоты h = ____ м и массой m1 = _____ кг, имеющий квадратное основание со стороной
Источник
Закон Торричелли
Итальянский ученый Эванджелиста Торричелли, изучавший движение жидкостей,
в (1643) году экспериментально обнаружил, что скорость вытекания жидкости через малое отверстие на дне открытого сосуда (рисунок (1)) описывается формулой:
[v = sqrt {2gh} ,]
где (h) − высота уровня жидкости над отверстием, (g) − гравитационная постоянная.
| |
Рис.1 | Рис.2 |
Такая же формула описывает скорость тела, свободного падающего с высоты (h) в поле тяжести Земли в вакууме.
В действительности, найденная формула не совсем точна. В более точном приближении скорость жидкости зависит от формы и размера отверстия, от вязкости жидкости и режима течения. Поэтому,
формула Торричелли часто записывается с дополнительным множителем (varphi:)
[v = varphisqrt {2gh} ,]
где коэффициент (varphi) близок к (1.) Значения параметра (varphi) для отверстий различной формы и размера можно найти в гидравлических справочниках.
Вытекание жидкости из тонкой трубки
Вытекание жидкости из тонкой длинной трубки (рисунок (2)) имеет ряд особенностей. Здесь важную роль играют капиллярные эффекты, обусловленные
поверхностным натяжением и смачиванием вследствие контакта со стенками трубки.
Скорость вытекания жидкости из капиллярных трубок приблизительно пропорциональна высоте столба жидкости над отверстием, то есть
[v = kh,]
где (k) − некоторая константа, зависящая от вязкости жидкости, геометрии и материала трубки.
Далее мы будем описывать вытекание жидкости с помощью дифференциальных уравнений из сосудов обоих типов (широкого и тонкого).
Дифференциальное уравнение вытекания жидкости
Данное дифференциальное уравнение можно вывести, рассматривая баланс жидкости в сосуде. Возьмем, например, цилиндрический сосуд с широким основанием, радиус
которого равен (R.) Предположим, что жидкость вытекает через малое отверстие радиуса (a) на дне сосуда (рисунок (3)).
|
|
Рис.3 | Рис.4 |
Скорость жидкости описывается формулой Торричелли:
[v = sqrt {2gz} ,]
где (z) − высота жидкости над отверстием. Тогда поток жидкости определяется выражением:
[q = – pi {a^2}sqrt {2gz} .]
Здесь (pi {a^2}) соответствует площади отверстия, через которое вытекает жидкость, а знак “минус” означает,
что уровень жидкости уменьшается по мере ее вытекания из резервуара.
Уравнение баланса жидкости в резервуаре описывается следующим образом:
[frac{{dV}}{{dt}} = q.]
Поскольку изменение объема (dV) можно выразить как
[dV = Sleft( z right)dz,]
то мы получаем дифференциальное уравнение
[frac{{Sleft( z right)dz}}{{dt}} = qleft( z right).]
Подставим функцию (qleft( z right)) в это уравнение:
[frac{{Sleft( z right)dz}}{{dt}} = – pi {a^2}sqrt {2gz} .]
Поперечное сечение ({Sleft( z right)}) цилиндрического сосуда не зависит от высоты (z) и равно
[Sleft( z right) = pi {R^2},]
где (R) − радиус основания цилиндра. Тогда
[require{cancel}
cancel{pi} {R^2}frac{{dz}}{{dt}} = – cancel{pi} {a^2}sqrt {2gz} .
]
В результате получаем уравнение с разделяющимися переменными:
[frac{{dz}}{{sqrt z }} = – frac{{{a^2}}}{{{R^2}}}sqrt {2g} dt.]
Теперь проинтегрируем полученное уравнение, считая, что начальный уровень жидкости составляет (H,) и за время (T) он уменьшается до (0:)
[
{intlimits_H^0 {frac{{dz}}{{sqrt z }}} = – intlimits_0^T {frac{{{a^2}}}{{{R^2}}}sqrt {2g} dt} ,};;
{Rightarrow 2left[ {left. {left( {sqrt z } right)} right|_H^0} right] = – frac{{{a^2}}}{{{R^2}}}sqrt {2g} left[ {left. {left( t right)} right|_0^T} right],};;
{Rightarrow 2sqrt H = frac{{{a^2}}}{{{R^2}}}sqrt {2g} T,};;
{Rightarrow sqrt {2H} = frac{{{a^2}}}{{{R^2}}}sqrt g T.}
]
Отсюда следует выражение для полного времени вытекания жидкости (T:)
[T = frac{{{R^2}}}{{{a^2}}}sqrt {frac{{2H}}{g}} .]
Интересно, что в предельном случае (a = R) (когда площади отверстия и самого цилиндра равны), полученная
формула преобразуется в известную формулу (T = sqrt {largefrac{{2H}}{g}normalsize}, )
которая определяет время падения материального тела с высоты (H.) Зависимость времени (T) от высоты (H) схематически показана на рисунке (4.)
Аналогично можно описать вытекание жидкости и из сосуда другой формы.
Вывести дифференциальное уравнение вытекания жидкости из конического сосуда и определить полное время вытекания (T.)
Радиус верхнего основания конического сосуда равен (R,) а радиус нижнего основания (a.) Начальная уровень жидкости составляет (H) (рисунок (5)).
| |
Рис.5 | Рис.6 |
Изменение уровня жидкости на высоте (z) описывается дифференциальным уравнением
[Sleft( z right)frac{{dz}}{{dt}} = qleft( z right),]
где (Sleft( z right)) − площадь поперечного сечения сосуда на высоте (z,) а (qleft( z right)) − поток жидкости, зависящий от высоты (z.)
Принимая во внимание геометрию сосуда, можно предположить, что закон Торричелли выполняется. Поэтому, можно записать:
[qleft( z right) = – pi {a^2}sqrt {2gz} ,]
где (a) − радиус отверстия на дне конического сосуда. Учитывая, что отверстие достаточно малое, осевое сечение можно рассматривать как треугольник
(рисунок (6) выше). Из подобия треугольников следует, что
[frac{R}{H} = frac{r}{z}.]
Следовательно, площадь поверхности жидкости на высоте (z) будет равна
[
{Sleft( z right) = pi {r^2} }
= {pi {left( {frac{{Rz}}{H}} right)^2} }
= {frac{{pi {R^2}{z^2}}}{{{H^2}}}.}
]
Подставляя (Sleft( z right)) и (qleft( z right)) в дифференциальное уравнение, имеем:
[frac{{pi {R^2}{z^2}}}{{{H^2}}}frac{{dz}}{{dt}} = – pi {a^2}sqrt {2gz} .]
После простых преобразований получаем следующее дифференциальное уравнение:
[{z^{largefrac{3}{2}normalsize}}dz = – frac{{{a^2}{H^2}}}{{{R^2}}}sqrt {2g} dt.]
Проинтегрируем обе части, учитывая, что уровень жидкости уменьшается от начального значения (H) до нуля за время (T:)
[
{intlimits_H^0 {{z^{largefrac{3}{2}normalsize}}dz} = – intlimits_0^T {frac{{{a^2}{H^2}}}{{{R^2}}}sqrt {2g} dt} ,};;
{Rightarrow left. {left( {frac{{{z^{largefrac{5}{2}normalsize}}}}{{frac{5}{2}}}} right)} right|_0^H = frac{{{a^2}{H^2}}}{{{R^2}}}sqrt {2g} left[ {left. {left( t right)} right|_0^T} right],};;
{Rightarrow frac{2}{5}{H^{largefrac{5}{2}normalsize}} = frac{{{a^2}{H^2}}}{{{R^2}}}sqrt {2g} T,};;
{Rightarrow frac{1}{5}sqrt {frac{{2H}}{g}} = frac{{{a^2}}}{{{R^2}}}T,};;
{Rightarrow T = frac{{{R^2}}}{{5{a^2}}}sqrt {frac{{2H}}{g}} .}
]
Здесь мы снова видим аналогию с падением материального тела с высоты (H) в гравитационном поле Земли. Как известно,
время падения описывается формулой:
[T = sqrt {frac{{2H}}{g}}. ]
Если мы сравним этот результат со случаем вытекания жидкости из цилиндрического сосуда, то видно, что при тех же самых
значениях (H, R) и (a) время вытекания жидкости из конического сосуда ровно в (5) раз меньше, чем из цилиндра (хотя
объем конического сосуда меньше лишь в (3) раза!). Такие целочисленные отношения в природе выглядят удивительными, не правда ли?
Исследовать вытекание жидкости из тонкой трубки радиусом (R) и высотой (H,) считая трубку полностью заполненной жидкостью.
|
|
Рис.7 | Рис.8 |
Аналогично разобранным выше примерам, мы можем записать уравнение баланса жидкости на некоторой произвольной высоте (z) в следующей форме:
[Sleft( z right)frac{{dz}}{{dt}} = qleft( z right).]
В данном случае площадь поперечного сечения (Sleft( z right)) является константой:
[Sleft( z right) = S = pi {R^2},]
и поток жидкости, вытекающей из сосуда, определяется формулой:
[qleft( z right) = – kz,]
где (k) зависит от размера отверстия, смачиваемости и других параметров.
В результате получаем простое дифференциальное уравнение:
[pi {R^2}frac{{dz}}{{dt}} = – kz,]
или после разделения переменных:
[frac{{dz}}{z} = – frac{k}{{pi {R^2}}}dt.]
Теперь это уравнение можно проинтегрировать, считая, что уровень жидкости уменьшается с высоты (H) до (h) за время от (0) до (t:)
[
{intlimits_H^h {frac{{dz}}{z}} = – intlimits_0^t {frac{k}{{pi {R^2}}}dt} ,};;
{Rightarrow left. {left( {ln z} right)} right|_h^H = frac{k}{{pi {R^2}}}t,};;
{Rightarrow t = frac{{pi {R^2}}}{k}left( {ln H – ln h} right) = frac{{pi {R^2}}}{k}ln frac{H}{h}.}
]
Зависимость времени (t) от отношения (largefrac{H}{h}normalsize) показана схематически на рисунке (8.)
Данная кривая аналогична зависимости времени (T) от высоты (H) для широкого цилиндрического сосуда, для которого справедлив закон Торричелли.
Интересно, что в данной простой модели время вытекания жидкости (t) формально стремится к бесконечности при (h to 0.)
Источник