При равновесии поршень в первом из сообщающихся сосудов

–PAGE_BREAK–
2.6 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ТЕМУ «СООБЩАЮЩИЕСЯ СОСУДЫ»
Задача №1.В сообщающихся сосудах находится ртуть. В один из сосудов доливают воду, а в другой – керосин. Высота столба воды hв= 20 см. Какова должна быть высота hкстолба керосина, чтобы уровни ртути в обоих сосудах совпадали?

Решение.Уровни ртути будут совпадать, если давление столба воды и столба керосина одинаково: ρвghв= ρкghк. Отсюда находим hк =ρвhв/ρк = 25 см.

Задача №2. В сообщающихся сосудах (рис. 4) находится холодная вода. В каком направлении потечет вода по трубке, соединяющей сосуды, если их поместить в теплое помещение?

Решение.Выделив в соединительной трубке некоторый участок. Вначале давление воды на этот участок с обеих сторон было одинаковым, и вода не перемещалась. При одинаковом уменьшении плотности воды в сосудах увеличение высоты столбов воды в них будет разным. В левом сосуде высота столба воды будет увеличиваться быстрее, чем в правом. Так как давление воды пропорционально высоте столба, то слева на выделенную площадку давление будет больше и вода в соединительной трубке начнет перемещаться вправо.

Задача №3.При равновесии поршень в первом из сообщающихся сосудов (рис. 5) устанавливается на h1= 20 см выше, чем во втором. Массы поршней m1= 2 кг и m2= 4 кг. Если на первый поршень поставить гирю массой m3= 3 кг, то поршни установятся на одинаковой высоте. Как расположатся поршни, если гирю переставить на второй поршень?

Решение.В этой задаче нельзя считать, что силы давления жидкости на поршни относятся как площади этих поршней: когда поршни устанавливаются на разных уровнях, следует учитывать и давление столба жидкости. Если переставить гирю на второй поршень, он окажется ниже первого. Обозначив разность высот поршней в этом случае h, плотность жидкости ρ, а площади поршней S1иS2и учитывая, что сила давления жидкости на поршень при равновесии равна по модулю весу этого поршня с грузом, получим систему уравнений:

Вычитая из первого уравнения второе, а из третьего – первое, приходим к следующим уравнениям: m3= ρh1S1 иm3= ρS2(h

–
h1), откуда h
=
h1(1 + S1/
S2). Поскольку из второго уравнения системы следует, что S1/
S2= (m1–
m3)m2, находим: первый поршень будет расположен выше второго на h
=
h1(m1+ m2 + m3)/m2.

Задача №4. Трубки ртутного U-образного манометра имеют разные диаметры. К какому из колен манометра следует подсоединить сосуд, в котором необходимо измерить давление, чтобы точность измерения была выше? (Шкала прикреплена к узкому колену манометра).

Решение.Так как жидкость несжимаема, то объем ртути в одном колене увеличится на столько, на сколько уменьшится объем в другом колене, поэтому p
+Dp= p
+ρgh, гдеh– разность уровней жидкости в коленах (рис.6).

Задача №5.Пять одинаковых сообщающихся сосудов (рис. 7) частично заполнены водой. В один из сосудов доливают слой керосина высотой h= 25 см. На сколько поднимется уровень воды в остальных сосудах?

Решение.Слой керосина высотой hвызывает такое же увеличение давления в жидкости, как слой воды высотой hв =ρкh/ρв = 20 см. Если долить в сосуды воду, то она распределится между всеми сосудами поровну. Следовательно, уровень воды в сосудах поднимется на hв/5 = 4 см.

Задача №6.В U-образной трубке находятся ртуть, вода и керосин (рис. 8). Найдите высоту столбов воды и керосина, если в правом колене трубки уровень ртути на h= 1 см выше, чем в левом.

Решение.Пусть высота столба керосина (рис.9) hк, тогда высота столба воды hв= hк+ h. Давление в точках А и В должно быть одинаковым: hк= h(ρрт-ρв)/(ρв-ρк) = 63 см. Отсюда h= 64 см.

2.7 ИЗУЧЕНИЕ ТЕМЫ «ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ ПРЕСС»
Закон Паскаля позволяет объяснить действие гидравлической машины. Это машины, действие которых основано на законах движения и равновесия жидкостей.

Основной частью гидравлической машины служат два цилиндра, снабженные поршнями и соединенные трубкой (рис.1).

Пространство под поршнями и трубку заполняют жидкостью (обычно минеральным маслом). Высоты столбов жидкости в обоих цилиндрах одинаковы, пока на поршни не действуют силы.

Допустим теперь, что F1и F2– силы, действующие на поршни, S1и S2– площади поршней. Давление под малым поршнем равно p
1
=
F1/S1, а под большим поршнем p
2
=
F2/S2. По закону Паскаля давление во всех точках покоящейся жидкости одинаково и p
1
=
p
2,  т.е.

F1/S1 = F2/S2,

откуда:

F2/F1= S2/S1.

Поскольку для площадей поршней выполняется соотношение S1S2, то сила F1, действующая на меньший поршень, меньше силы F2, действующей на больший поршень. Причем во сколько раз площадь меньшего поршня меньше площади большего, во столько же раз сила F1меньше силы F2.

Таким образом, гидравлическая машина дает выигрыш в силе во столько раз, во сколько раз площадь большего поршня больше площади малого.

Это означает, что с помощью небольшой силы, приложенной к малому поршню гидравлической машины, можно уравновесить существенно бóльшую силу, приложенную к большему поршню.

Гидравлическую машину, служащую для прессования (сдавливания), называют гидравлическим прессом. Гидравлические прессы используются для обработки материалов, для прессования сена, соломы, для выжимания масла из семян. Принцип гидравлического пресса используется в гидравлических домкратах для подъема тяжелых грузов.

Рассмотрим, как работает гидравлический пресс (рис.2). Прессуемое тело А кладут на платформу, соединенную с большим поршнем В. При помощи малого поршня D создается большое давление на жидкость. Это давление без изменения передается в каждую точку жидкости, заполняющей цилиндры (закон Паскаля). Поэтому такое же давление действует и на поршень В. Но так как площадь поршня В больше площади поршня D, то и сила, действующая на него, будет больше силы, действующей на поршень D. Под действием этой силы поршень В будет подниматься. При подъеме поршня В тело упирается в неподвижную верхнюю платформу и сжимается. М — манометр, при помощи которого измеряют давление жидкости, Р — предохранительный клапан, автоматически открывающийся, когда давление превышает допустимое значение.

Из малого цилиндра в большой жидкость перекачивается повторными движениями малого поршня D. Это осуществляется так. При подъеме малого поршня клапан К открывается и в пространство, находящееся под поршнем, засасывается жидкость. При опускании малого поршня под действием давления жидкости клапан К закрывается, а клапан К’ открывается и жидкость переходит в большой сосуд.

Гидравлическая машина, так же как и любой простой механизм, дает выигрыш в силе, но не дает выигрыша в работе.

Пусть на малый поршень гидравлической машины площадьюS1 действует сила F1, под действием которой он перемещается вниз на расстояние h1(рис.3). При этом на больший поршень площадью S2действует сила F2, и он перемещается вверх на расстояние h2.

При действии силы F1масло из малого цилиндра перетекло в большой. Очевидно, что объем масла (V1), ушедшего из меньшего цилиндра, равен объему масла (V2), пришедшего в большой цилиндр:

V1= V2.

Объем масла равен произведению площади поперечного сечения цилиндра и расстояния, на которое переместился поршень, т.е.

V1= S1h1; V2= S2h2.

Можно записать:

S1h1= S2h2

или

h2/h1 = S1/S2.

Зная, что F1/F2= S2/S1, получим

F1h1= F2h2.

Произведение силы на расстояние, пройденное телом в направлении действия этой силы, есть работа. Таким образом, А1= А2, т.е. гидравлическая машина не дает выигрыша в работе.
2.8 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ТЕМУ «ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ ПРЕСС»
Задача №1.Какую силу Fнужно приложить к малому поршню гидравлической машины, чтобы большой поршень мог поднять груз массой m= 600 кг? Площади поршней S1= 0,5 см2 и S2= 30 см2.

Решение.Отношение сил, действующих на поршни, равно отношению площадей этих поршней:

F1/ F2 = S1/S2

или

F/S1= mg/S2.

ОтсюдаF= mgS1/S2= 100 Н.

Задача №2.Действие гидравлической машины основано на законе Паскаля, который выполняется для жидкостей и газов. Можно ли в гидравлической машине заменить жидкость газом?

Решение.Из-за сжимаемости газа в нем трудно создать большое давление, поэтому такая машина не будет создавать большой силы.

Задача №3.Можно ли считать медицинский шприц насосом?

Решение.Насос имеет систему клапанов, которых у шприца нет. Движение жидкости в насосе идет все время в одном направлении, в шприце оно идет в одном, затем в противоположном. Действие шприца сходно с действием пипетки.

Задача №4.Малый поршень гидравлического пресса площадью 1,5 см2 под действием силы опустился на 15 см. Площадь большого поршня 9 см2. Определите массу груза, поднятого поршнем, если на малый поршень действовала сила 300 Н. На какую высоту был поднят груз?

Решение.Отношении сил, действующих на поршни, равно отношению площадей этих поршней:

F1/ F2 = S1/S2,

откуда

F2 = F1S2/S1.

Тогда

mg = F1S2/S1

и

m
= F
1
S2/gS1= 180 (кг).

Так как F1l1= F2l2, то l2= F1l1/F2= S1l1/S2= 2,5 (см).
2.9 ИЗУЧЕНИЕ ТЕМЫ «ЗАКОН АРХИМЕДА»
Мы знаем, что жидкость давит на дно и стенки сосуда, а если внутрь ее поместить какое-нибудь твердое тело, то оно также будет подвергаться давлению.

Рассмотрим силы, которые действуют со стороны жидкости на погруженное в нее тело. Чтобы легче было рассуждать, выберем тело, которое имеет форму параллелепипеда с основаниями, параллельными поверхности жидкости (рис.1). Силы, действующие на боковые грани тела, попарно равны и уравновешивают друг друга. Под действием этих сил тело только сжимается. А вот силы, действующие на верхнюю и нижнюю грани тела, неодинаковы. На верхнюю грань давит сверху с силой F1 столб жидкости высотой h1. На уровне нижней грани тела давление производит столб жидкости высотой h2. Это давление, передается внутри жидкости во все стороны. Следовательно, на нижнюю грань тела снизу вверх с силой F2 давит столб жидкости

высотой h2. Ноh2 больше h1, следовательно, и модуль силы F2 больше модуля силы F1. Поэтому тело выталкивается из жидкости с силой FBЫT, равной разности сил F2—F1, т.е.

FBЫT= F2—F1.

Рассчитаем эту выталкивающую силу. Силы F1 и F2, действующие на верхнюю и нижнюю грани параллелепипеда, можно вычислить по их площадям (S1 и S2) и давлению жидкости на уровнях этих граней (p1 и р2).

F1=p1S1и F2=p2S2,

где p1=pжgh1, p2=pжgh2, aS1 = S2 = S — площадь основания параллелепипеда.

Тогда

FBЫT=F2— F1= pжgh2S
—
pжgh1S=pжg
S(h2 —
h1) = pжg
S
h,

где  h– высота параллелепипеда. Ho Sh = V — объем параллелепипеда. Следовательно,

FBЫT= pжg
V.

Произведение pжV – масса жидкости в объеме погруженного тела. Произведение массы жидкости и ускорения свободного падения равно силе тяжести, действующей на жидкость. Она в данном случае равна весу жидкости. Таким образом, на тело, целиком погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, направленная вверх и равная весу жидкости в объеме, равном объему этого тела.

Этот закон называют законом Архимеда. Выталкивающую силу также называют архимедовой.

Если в жидкость погружена часть тела, то в формуле выталкивающей силы V– объем той части тела, которая погружена в жидкость.

Существование силы, выталкивающей тело из жидкости, легко обнаружить на опыте. На рис.2, а изображено тело, подвешенное к пружине со стрелкой-указателем на конце. Растяжение пружины отмечает на штативе стрелка. При опускании тела в воду пружина сокращается (рис. 2, б). Такое же сокращение пружины получится, если действовать на тело снизу вверх с некоторой силой, например нажать рукой.

Следовательно, опыт подтверждает, что на тело, находящееся в жидкости, действует сила, выталкивающая это тело из жидкости.

К газам применим закон Паскаля. Поэтому и на тела, находящиеся в газе, действует сила, выталкивающая их из газа.

Архимедова сила зависит от плотности жидкости, в которую погружено тело, и от объема этого тела. Но она не зависит, например, от плотности вещества тела, погружаемого в жидкость.

Используя принцип отвердевания, можно показать, что закон Архимеда верен для тела произвольной формы.

Силу, с которой тело, находящееся в жидкости, выталкивается ею, можно рассчитать по формуле. Также можно определить ее значение и на опыте, используя для этого прибор, изображенный на рисунке 3.

К пружине подвешивают небольшое ведерко и тело цилиндрической формы. Растяжение пружины отмечает стрелка на штативе (рис.3, а), показывая вес тела в воздухе. Приподняв тело, под него подставляют отливной сосуд, наполненный жидкостью до уровня отливной трубки, и погружают тело целиком в жидкость (рис.3, б). При этом часть жидкости, объем которой равен объему тела, выливается из отливного сосуда в стакан. Указатель пружины поднимается вверх, пружина сокращается, показывая уменьшение веса тела в жидкости. В данном случае на тело, кроме силы тяжести, действует еще и сила, выталкивающая его из жидкости. Если в ведерко вылить жидкость из стакана (т. е. ту, которую вытеснило тело), то указатель пружины возвратится к своему начальному положению (рис.3, в).

На основании этого опыта можно заключить, что сила, выталкивающая целиком погруженное в жидкость тело, равна весу жидкости в объеме этого тела.

Если бы подобный опыт проделать с телом, погруженным в какой-либо газ, то он показал бы, что сила, выталкивающая тело из газа, также равна весу газа, взятого в объеме тела.    продолжение
–PAGE_BREAK–