Равноускоренное движение сосуда с жидкостью
Равновесие жидкости в сосуде, движущемся прямолинейно с постоянным ускорением
Равновесие при условии движения сосуда с ускорением называется относительным покоем.
Рис. 19. Относительный покой в сосуде, движущемся с постоянным ускорением
При прямолинейном движении сосуда с постоянным ускорением а (рис. 19)
Используя уравнение (5.5), получим
Если принять p = const, то получим уравнение поверхностей уровня (изобарических поверхностей):
которые являются плоскостями, параллельными оси Y и нормальными сумме векторов jug:
Тогда распределение давлений определяется формулой
Сила давления жидкости на плоскую стенку. Центр давления
Подсчитаем силу давления жидкости на элемент плоской стенки площадью А. Стенка наклонена к горизонту под плоским углом а (рис. 20).
Рис. 20. Сила давления, действующая на плоскую стенку
Давление на свободной поверхности р. Элементарная сила давления будет:
Полная сила давления определяется по площади Р = Ро с1А +р% hclA =рА + р% 5Іпау А • (6.5)
Полная сила давления жидкости на плоскую стенку равна произведению площади стенки на величину гидростатического давления в центре масс плоской фигуры. В машиностроении обычно
Для вычисления центра давления (точки приложения суммарной силы давления Р) найдем сначала центр давления для силы, обусловленной весовым давлением. Используя теорему Вариньона
(момент равнодействующей силы давления относительно оси X равен сумме моментов составляющих сил) и теорему Штейнера о связи моментов инерции относительно параллельных осей, можно получить координату приложения суммарной силы весового давления (центр давления).
т.е. центр давления расположен ниже центра масс плоской площадки. Сила давления рА, очевидно, приложена в центре масс
— точке С. Центр давления равнодействующей силы Р = рА + р%ЬсА находится между точками С и ?>. Однако в гидротехнике, когда р0 = ра (атмосферное давление), положение центра давления определяется только весовым давлением, и различие между точками С и й становится определяющим.
Источник
Прямолинейное равноускоренное движение сосуда с жидкостью
Ранее мы рассматривали равновесие жидкости под действием лишь одной массовой силы – ее веса. Этот случай имеет место тогда, когда жидкость покоится в сосуде, неподвижном относительно земли, а также в сосуде, движущемся равномерно и прямолинейно.
Если сосуд с жидкостью находится в неравномерном или непрямолинейном движении, то на частицы жидкости помимо собственного веса действуют еще силы инерции переносного движения, под действием которых, если они постоянны во времени, жидкость принимает новое положение равновесия. Этот случай равновесия жидкости называется относительным покоем.
При относительном покое свободная поверхность жидкости и прочие поверхности уровня могут существенно отличаться от горизонтальной поверхности. При определении формы и положения такой свободной поверхности, находящейся в относительном покое, следует учитывать основное свойство всякой поверхности уровня. Равнодействующая массовая сила всегда действует по нормали к поверхности уровня. Это свойство вытекает из условия отсутствия движения жидкости.
Рассмотрим два характерных случая относительного покоя жидкости:
а) в сосуде, движущемся прямолинейно и равноускоренно
б) в сосуде, равномерно вращающемся вокруг вертикальной оси.
Пусть сосуд с жидкостью движется прямолинейно с постоянным ускорением а. В этом случае результирующую массовую силу, действующую на жидкость, найдем как сумму векторов силы инерции, направленной в сторону, обратную ускорению а, и силы тяжести (рис. 2.10).
Обозначив вектор равнодействующей силы, отнесенной к единице массы, через j, получим
j = a +g
где a и g – векторы единичных сил инерции и тяжести. Для всех частиц рассматриваемого объема жидкости равнодействующие массовые силы параллельны друг другу, а поверхности уровня перпендикулярны этим силам, поэтому все поверхности уровня, в том числе и свободная поверхность, являются плоскостями, параллельными друг другу. Угол наклона этих плоскостей к горизонту определяется из условия перпендикулярности их к силе j.
Для полного решения о положении свободной поверхности жидкости в сосуде, движущемся прямолинейно равноускоренно, необходимо к предыдущему условию добавить уравнение объемов, т. е. нужно знать объем жидкости в сосуде, выразить его через размеры сосуда и первоначальный уровень жидкости.
Давление в любой точке рассматриваемого объема жидкости может быть получено аналогично тому, как это определялось при выводе основного уравнения гидростатики (лекция №3, п. 2.2).
(2.9)
В частном случае, когда а = 0 и соответственно j = g, формула (2.9) превращается в основное уравнение гидростатики (2.1).
Источник
Давление жидкости на твердые поверхности. Закон Архимеда
Движение резервуара с жидкостью по вертикали с постоянным ускорением а (рис.2.6).
Относительное равновесие.
Ранее было рассмотрено равновесие жидкости под действием лишь одной массовой силы – силы веса жидкости. Этот случай имеет место тогда, когда жидкость покоится в неподвижном сосуде или сосуде, движущемся прямолинейно и равномерно. Если же сосуд с жидкостью находится в неравномерном или непрямолинейном движении, то на частицы жидкости кроме силы тяжести действуют еще силы инерции, причем если они постоянны по времени, то жидкость принимает новое положение равновесия. Такое равновесие жидкости называется относительным покоем (равновесием).
При рассмотрении относительного равновесия обычно решаются две задачи: определяется форма поверхности уровня (равного давления) и выясняется характер распределения давления. Эти задачи решаются с помощью уже известных уравнений (2.6) и (2.11).
Для определения формы поверхности равного давления воспользуемся уравнением (2.11). Проекции единичных массовых сил на координатные оси будут: . Знак « — »-равноускоренный подъем, « + »-спуск.
Рис.2.6. Вертикальное перемещение резервуара с жидкостью.
Составим уравнение поверхности уровня
( -g.
. (2.12)
Если
, то dz=0 и, следовательно, z=const, т.е.поверхности равного давления представляют собой горизонтальные плоскости. (При спуске и а=g невесомость).
Характер распределения давления в рассматриваемом случае получим из основного уравнения равновесия жидкости (2.6), которое принимает форму:
,
где С – постоянная интегрирования, определяемая из граничных условий поверхности z=z, p=p.
После подстановки граничных условий, получаем закон распределения давления вдоль любой вертикали:
(2.13)
2.5.2. Вращение цилиндрического сосуда с жидкостью с постоянной угловой скоростью .(рис.2.7)
Определим форму свободной поверхности (поверхности уровня) и закон распределения давления. Выберем вблизи свободной поверхности частицу жидкости массой dm; на эту частицу действует массовая сила dF, направленная по нормали к свободной поверхности. (это свойство поверхности уровня: равнодействующая массовых сил всегда направлена по нормали к поверхности уровня)
Рис. 2.7. Вращение
резервуара с жидкостью.
Разложив эту силу на две составляющие: горизонтальную (центробежную) силу dFr=dm
2 r и вертикальную, определяемую полем силы тяжести dFg=-dmg.
Разделив действующие силы на dm, получим:
X=
2 rcos= 2 x;
Y=
2 rsin= 2 y;
Дифференциальное уравнение поверхности уровня в этом случае будет
2 xdx+ 2 ydy-gdz=0 или 2 rdr-gdz=0. (2.14)
Интегрируя уравнение (2.14), получим для поверхности равного давления
. (2.15)
Таким образом, поверхностью равного давления будет семейство параболоидов вращения, осью симметрии которых является ось OZ.
Закон распределения давления найдем из дифференциального уравнения (2.6), которое в данном случае примет вид
(2.16)
После интегрирования с учетом граничных условий (r=0, z=zo, р=р) получим закон распределения давления:
, (2.17)
(здесь уже найдена постоянная интегрирования С)
Это значит, что давление возрастает пропорционально радиусу и уменьшается пропорционально высоте z. (пропорционально r возрастает инерционная составляющая массовой силы, а с увеличением r массовая сила уменьшается, т.к. результирующая массовая сила всегда нормальна к поверхности уровня – угол наклона вектора массовой силы увеличивается. (см.рис.).
Источник
Источник
Содержание:
- Прямолинейное равноускоренное движение сосуда с жидкостью
Прямолинейное равноускоренное движение сосуда с жидкостью
Прямолинейное равноускоренное движение сосуда с жидкостью. Ранее рассматривалось равновесие жидкостей под действием преимущественно 1-й массовой силы (ее веса).Этот случай имеет место, когда жидкость неподвижна относительно Земли и неподвижна в равномерно и прямолинейно движущемся сосуде. Если емкость с жидкостью имеет неравномерное или нелинейное движение, то, помимо силы тяжести, на частицы жидкости также действует сила инерции, и если время постоянно, то жидкость занимает новое равновесное положение. Равновесие этой жидкости называется относительным покоем.
При относительной неподвижности свободная поверхность жидкости и другие горизонтальные поверхности могут существенно отличаться от горизонтальной поверхности, когда жидкость неподвижна в неподвижном контейнере, то есть когда она неподвижна с горизонтальной поверхности.
Людмила Фирмаль
- При определении формы и расположения свободной поверхности жидкости в относительном стационарном состоянии необходимо руководствоваться основными характеристиками любой горизонтальной поверхности, а именно: фактически, если результирующая массовая сила действует под определенным углом относительно горизонтальной плоскости, то тангенциальная составляющая этой силы заставляет частицу двигаться 2 $ Жидкость по поверхности уровня. Но в относительном спокойном состоянии нет движения частиц жидкости относительно стенки сосуда или относительно каждого из них other. As в результате, единственно возможное направление равноденствия Л * * и Действующая массовая сила перпендикулярна поверхности свободной поверхности и другим уровням.
Разные ценности, это невозможно. Рассмотрим 2 характерных случая относительного покоя жидкости: сосуд, который ускоряется и движется линейно и равномерно, и сосуд, который вращается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью. Перемещайте емкость с жидкостью по прямой линии с постоянной accelerationa. In в этом случае мы находим результирующую массовую силу, действующую на жидкость, как сумму 1 в. 1 + Индуцированная инерция Ускорение а и сила тяжести на другую сторону(рис. 1.17).Показать вектор связанных синтетических массовых сил К единичной массе получим, где А и% единичный вектор силы инерции и силы тяжести.
- Для всех частиц рассматриваемого объема жидкости силы результирующей массы параллельны друг другу, а горизонтальная плоскость перпендикулярна им forces. So, все горизонтальные плоскости, включая свободные, являются плоскостями, параллельными друг другу. Угол наклона этих плоскостей относительно горизонта определяется из условия перпендикулярности к силе / плоскости Чтобы определить положение свободной поверхности жидкости в линейно равномерно ускоренном и движущемся сосуде, уравнение объема должно быть добавлено к предыдущим условиям. То есть необходимо знать объем жидкости в сосуде и выражать его размерами сосудов B и H и начальным уровнем жидкости K.
Уравнение, позволяющее найти давление в любой точке рассматриваемого объема жидкости, может быть получено таким же образом, как и 1,5 члена. Например, Точка M (13y параллельна свободной поверхности, а точки На этой плоскости свободный&Д1 & свободный построить цилиндрический том с шинопроводом перпендикулярным к поверхности. Условие равновесия для указанного объема жидкости в направлении, перпендикулярном свободной поверхности, является: П <18 = ■ РО&8+] Р1 38、 Где последний член-суммарная массовая сила, действующая на объем выбранной жидкости, I-расстояние от точки L /до свободной поверхности. После получать и уменьшения П-по + / п ^ *(1.33).
Поверхность уровня не может пересекать друг друга. Если нет, то вдоль двух пересекающихся линий такой поверхности получается ряд точек, и одновременно возникает два давления.
Людмила Фирмаль
- В некоторых случаях a равно 0, и поэтому/является уравнением (1.33), которое является основным гидростатическим уравнением(1-20). Если вы интегрируете дифференциальное уравнение (1.24), то получите то же самое уравнение(1.33).Для этого удобнее ориентировать одну из координатных осей вдоль линии действия результирующей массовой силы 7. 1.Например, если вы берете это направление относительно оси 2 *、 X-Y-0; BПоэтому вместо уравнения (1.24) можно написать Зр=р/ 31. Или после консолидации и определения путем постоянной замены параметров свободной поверхности р = р] 1 + п. Полученное уравнение соответствует уравнению (1.33).
Смотрите также:
Методические указания по гидравлике
Возможно эти страницы вам будут полезны:
- Сила давления жидкости на плоскую стенку.
- Сила давления жидкости на криволинейные стенки. Плавание тел.
- Равномерное вращение сосуда с жидкостью.
- Кинематика и динамика жидкости
Источник
Равновесие жидкости в сосуде, движущемся прямолинейно с постоянным ускорением
Равновесие при условии движения сосуда с ускорением называется относительным покоем.
Рис. 19. Относительный покой в сосуде, движущемся с постоянным ускорением
При прямолинейном движении сосуда с постоянным ускорением а (рис. 19)
Используя уравнение (5.5), получим
Если принять p = const, то получим уравнение поверхностей уровня (изобарических поверхностей):
которые являются плоскостями, параллельными оси Y и нормальными сумме векторов jug:
Тогда распределение давлений определяется формулой
Сила давления жидкости на плоскую стенку. Центр давления
Подсчитаем силу давления жидкости на элемент плоской стенки площадью А. Стенка наклонена к горизонту под плоским углом а (рис. 20).
Рис. 20. Сила давления, действующая на плоскую стенку
Давление на свободной поверхности р. Элементарная сила давления будет:
Полная сила давления определяется по площади Р = Ро с1А +р% hclA =рА + р% 5Іпау А • (6.5)
Полная сила давления жидкости на плоскую стенку равна произведению площади стенки на величину гидростатического давления в центре масс плоской фигуры. В машиностроении обычно
Для вычисления центра давления (точки приложения суммарной силы давления Р) найдем сначала центр давления для силы, обусловленной весовым давлением. Используя теорему Вариньона
(момент равнодействующей силы давления относительно оси X равен сумме моментов составляющих сил) и теорему Штейнера о связи моментов инерции относительно параллельных осей, можно получить координату приложения суммарной силы весового давления (центр давления).
т.е. центр давления расположен ниже центра масс плоской площадки. Сила давления рА, очевидно, приложена в центре масс
— точке С. Центр давления равнодействующей силы Р = рА + р%ЬсА находится между точками С и ?>. Однако в гидротехнике, когда р0 = ра (атмосферное давление), положение центра давления определяется только весовым давлением, и различие между точками С и й становится определяющим.
Источник
Прямолинейное равноускоренное движение сосуда с жидкостью
Ранее мы рассматривали равновесие жидкости под действием лишь одной массовой силы – ее веса. Этот случай имеет место тогда, когда жидкость покоится в сосуде, неподвижном относительно земли, а также в сосуде, движущемся равномерно и прямолинейно.
Если сосуд с жидкостью находится в неравномерном или непрямолинейном движении, то на частицы жидкости помимо собственного веса действуют еще силы инерции переносного движения, под действием которых, если они постоянны во времени, жидкость принимает новое положение равновесия. Этот случай равновесия жидкости называется относительным покоем.
При относительном покое свободная поверхность жидкости и прочие поверхности уровня могут существенно отличаться от горизонтальной поверхности. При определении формы и положения такой свободной поверхности, находящейся в относительном покое, следует учитывать основное свойство всякой поверхности уровня. Равнодействующая массовая сила всегда действует по нормали к поверхности уровня. Это свойство вытекает из условия отсутствия движения жидкости.
Рассмотрим два характерных случая относительного покоя жидкости:
а) в сосуде, движущемся прямолинейно и равноускоренно
б) в сосуде, равномерно вращающемся вокруг вертикальной оси.
Пусть сосуд с жидкостью движется прямолинейно с постоянным ускорением а. В этом случае результирующую массовую силу, действующую на жидкость, найдем как сумму векторов силы инерции, направленной в сторону, обратную ускорению а, и силы тяжести (рис. 2.10).
Обозначив вектор равнодействующей силы, отнесенной к единице массы, через j, получим
j = a +g
где a и g – векторы единичных сил инерции и тяжести. Для всех частиц рассматриваемого объема жидкости равнодействующие массовые силы параллельны друг другу, а поверхности уровня перпендикулярны этим силам, поэтому все поверхности уровня, в том числе и свободная поверхность, являются плоскостями, параллельными друг другу. Угол наклона этих плоскостей к горизонту определяется из условия перпендикулярности их к силе j.
Для полного решения о положении свободной поверхности жидкости в сосуде, движущемся прямолинейно равноускоренно, необходимо к предыдущему условию добавить уравнение объемов, т. е. нужно знать объем жидкости в сосуде, выразить его через размеры сосуда и первоначальный уровень жидкости.
Давление в любой точке рассматриваемого объема жидкости может быть получено аналогично тому, как это определялось при выводе основного уравнения гидростатики (лекция №3, п. 2.2).
(2.9)
В частном случае, когда а = 0 и соответственно j = g, формула (2.9) превращается в основное уравнение гидростатики (2.1).
Источник
Давление жидкости на твердые поверхности. Закон Архимеда
Движение резервуара с жидкостью по вертикали с постоянным ускорением а (рис.2.6).
Относительное равновесие.
Ранее было рассмотрено равновесие жидкости под действием лишь одной массовой силы – силы веса жидкости. Этот случай имеет место тогда, когда жидкость покоится в неподвижном сосуде или сосуде, движущемся прямолинейно и равномерно. Если же сосуд с жидкостью находится в неравномерном или непрямолинейном движении, то на частицы жидкости кроме силы тяжести действуют еще силы инерции, причем если они постоянны по времени, то жидкость принимает новое положение равновесия. Такое равновесие жидкости называется относительным покоем (равновесием).
При рассмотрении относительного равновесия обычно решаются две задачи: определяется форма поверхности уровня (равного давления) и выясняется характер распределения давления. Эти задачи решаются с помощью уже известных уравнений (2.6) и (2.11).
Для определения формы поверхности равного давления воспользуемся уравнением (2.11). Проекции единичных массовых сил на координатные оси будут: . Знак « — »-равноускоренный подъем, « + »-спуск.
Рис.2.6. Вертикальное перемещение резервуара с жидкостью.
Составим уравнение поверхности уровня
( -g.
. (2.12)
Если
, то dz=0 и, следовательно, z=const, т.е.поверхности равного давления представляют собой горизонтальные плоскости. (При спуске и а=g невесомость).
Характер распределения давления в рассматриваемом случае получим из основного уравнения равновесия жидкости (2.6), которое принимает форму:
,
где С – постоянная интегрирования, определяемая из граничных условий поверхности z=z, p=p.
После подстановки граничных условий, получаем закон распределения давления вдоль любой вертикали:
(2.13)
2.5.2. Вращение цилиндрического сосуда с жидкостью с постоянной угловой скоростью .(рис.2.7)
Определим форму свободной поверхности (поверхности уровня) и закон распределения давления. Выберем вблизи свободной поверхности частицу жидкости массой dm; на эту частицу действует массовая сила dF, направленная по нормали к свободной поверхности. (это свойство поверхности уровня: равнодействующая массовых сил всегда направлена по нормали к поверхности уровня)
Рис. 2.7. Вращение
резервуара с жидкостью.
Разложив эту силу на две составляющие: горизонтальную (центробежную) силу dFr=dm
2 r и вертикальную, определяемую полем силы тяжести dFg=-dmg.
Разделив действующие силы на dm, получим:
X=
2 rcos= 2 x;
Y=
2 rsin= 2 y;
Дифференциальное уравнение поверхности уровня в этом случае будет
2 xdx+ 2 ydy-gdz=0 или 2 rdr-gdz=0. (2.14)
Интегрируя уравнение (2.14), получим для поверхности равного давления
. (2.15)
Таким образом, поверхностью равного давления будет семейство параболоидов вращения, осью симметрии которых является ось OZ.
Закон распределения давления найдем из дифференциального уравнения (2.6), которое в данном случае примет вид
(2.16)
После интегрирования с учетом граничных условий (r=0, z=zo, р=р) получим закон распределения давления:
, (2.17)
(здесь уже найдена постоянная интегрирования С)
Это значит, что давление возрастает пропорционально радиусу и уменьшается пропорционально высоте z. (пропорционально r возрастает инерционная составляющая массовой силы, а с увеличением r массовая сила уменьшается, т.к. результирующая массовая сила всегда нормальна к поверхности уровня – угол наклона вектора массовой силы увеличивается. (см.рис.).
Источник
Источник