Сосуд и лента мебиуса
Математика — это наука далеко не про цифры. Говорить о том, что математика является наукой про цифры, это тоже самое, что говорить, что живопись — это кисти и краски, а балет — это пачки и пуанты. Математика изучает величины, отношения этих величин и формы в пространстве.
Один из разделов математики, топология, изучает непрерывности, в том числе непрерывности пространства. Одним из направлений изучения топологий является неориентируемые многообразия, где под многообразием понимают некое пространство подобное тому, в котором живем мы.
Самым простым примером неориентируемого многообразия является лента Мебиуса. Чтобы получить такой объект, достаточно взять длиную ленту бумаги и соединить ее концы, перевернув один из них на 180 градусов.
Лента Мебиуса
Если соединить концы прямо, то лента образует кольцо с внутренней и внешней поверхностью, которые отделены двумя краями. Если мы скрепим ленту, повернув один из концов на 180 градусов, то мы получим одну замкнутую поверхность с одним краем. То есть, если мы пойдем по поверхности этой ленты, то мы сможем обойти всю ее площадь, при этом не перебираясь через край.
В 1882 году Феликс Клейн выдвинул идею о том, как сделать такой объект, который будет заключать в себе одну замкнутую поверхность и при этом не будет обладать ни одним краем. Он взял мысленно цилиндр, воткнул один его край в бок и соединил со вторым краем. Так он получил бутылку Клейна.
Помимо того, что у этой бутылки нет краев, главной ее особенностью является то, что у нее имеется только одна сторона. Под понятием «одна сторона» подразумевается следующее: если мы мысленно начнем идти по поверхности данного объекта, то мы сможем обойти всю ее площадь как внутри, так и снаружи. Идя по внешней части, мы можем зайти в дырку, при этом не перебираясь не через какие края, поскольку их тут просто нет. Пройдя в эту дырку мы попадем внутрь и сможем обойти и там всю поверхность.
Сравнивая с обычной бутылкой, можно заметить, что у обычной бутылки имеется две поверхности — внешняя и внутренняя. При этом внешняя и внутренняя поверхность отделены краем горлышка.
Если мы представим бутылку абсолютно тонкой, то ее край, то есть ее горлышко, станет абсолютно острым. И если мы мысленно будем ходить по ее внешнему краю и попытаемся попасть внутрь, то нас просто разрежет. В случае с абсолютно тонкой бутылкой Клейна мы можем попасть абсолютно в любую точку, не отрываясь от поверхности.
Если бы мы жили во Вселенной с четырьмя макроскопическими пространственными измерениями, то бутылка Клейна раскрыла бы перед нами еще одно интересное свойство. В трехмерном случае то место, где тонкая часть бутылки Клейна врезается в стенку является для нас препятствием, однако в четырех измерениях это место перестает быть препятствием, что и иллюстрирует следующая анимация:
Если мы предположим, что бутылка Клейна состоит из какого-то неупругого материала, то мы можем пытаться выворачивать ее бесконечно, однако такой объект всегда будет сохранять свою форму и свои свойства.
Бутылка Клейна также не зависит от размеров. Этот объект можно увеличить, можно уменьшить, можно сжать, а можно растянуть, но он все равно не изменит своих математических свойств.
Помимо одной замкнутой поверхности бутылку Клейна и ленту Мебиуса объединяет кое-что большее. Если мы разделим бутылку Клейна вдоль ее линии симметрии, то мы получим ничто иное, как две одинаковые ленты Мебиуса. Единственным отличием этих лент будет являться то, что они будут представлять зеркальное отражение друг относительно друга.
Стоит заметить, что чтобы получить эталонные ленты Мебиуса, нужно выполнять данное разделение в четырехмерном пространстве, чтобы исключить проблему самопересечения.
Математика — это наука далеко не про цифры!
Источник
Áóòûëêà Êëÿéíà – ýòî ìàòåìàòè÷åñêàÿ
íåîðèåíòèðóåìàÿ ïîâåðõíîñòü, â êîòîðîé
íåðàçëè÷èìû âíóòðåííÿÿ è âíåøíÿÿ ñòîðîíû.
Áóòûëêà Êëÿéíà âïåðâûå áûëà îïèñàíà â 1882
ãîäó íåìåöêèì ìàòåìàòèêîì Ôåëèêñîì Êëÿéíîì
(Felix Klein). Ýòà ïîâåðõíîñòü òåñíî ñâÿçàíà ñ
äðóãîé çàãàäî÷íîé ïîâåðõíîñòüþ – ëåíòîé
Ìåáèóñà. Èñõîäíîå íàçâàíèå áóòûëêè
Êëÿéíà – “Klein Fla-e-che” (Fläche = ïîâåðõíîñòü)
ïîâåðõíîñòü Êëÿéíà. Îäíàêî, â íàçâàíèè
ñëîâî Fläche áûëî èíòåðïðåòèðîâàíî êàê Fla-s-che (áóòûëêà),
è èç-çà äîìèíèðîâàíèÿ àíãëèéñêîãî ÿçûêà
óòâåðäèëîñü â ìàòåìàòè÷åñêîé íàóêå, è ïîçäíåå òåðìèí “áóòûëêà Êëÿíà”
òàêæå âîøåë â îáèõîä è â Ãåðìàíèè.
Ïðåäñòàâèì ñåáå áóòûëêó ñ îòâåðñòèåì â
äíå. Òåïåðü ìûñëåííî óäëèíèì ãîðëûøêî
áóòûëêè, èçîãíåì åãî â îáðàòíîì íàïðàâëåíèè
è íàïðàâèì âíóòðü áóòûëêè ñêâîçü ñòåíêó, íå
êàñàÿñü åå (ýòî íåâîçìîæíî ïðîèçâåñòè â òðåõìåðíîì
ïðîñòðàíñòâå), äàëåå óäëèíèì ãîðëûøêî äî
äíà áóòûëêè è ñîåäèíèì êðàÿ ãîðëûøêà ñ
êðàÿìè îòâåðñòèÿ â äíå áóòûëêè. Íàñòîÿùàÿ
áóòûëêà Êëÿéíà â ÷åòûðåõìåðíîì
ïðîñòðàíñòâå íå ïåðåñåêàåòñÿ ñàìà ñ
ñîáîé.
 îòëè÷èå îò ðåàëüíûõ áóòûëîê,
ïîâåðõíîñòü Êëÿéíà íå èìååò ãðàíèöû, ãäå áû
îíà ïðåðûâàëàñü.  îòëè÷èå îò øàðà èëè
òîðà, ìóõà, ïîëçóùàÿ ïî ïîâåðõíîñòè áóòûëêè
Êëÿéíà, ìîæåò ïîïàñòü ñ âíåøíåé ñòîðîíû íà
âíóòðåííþþ, íå ïðîõîäÿ ñêâîçü ïîâåðõíîñòü.
Ìàòåìàòèêà
Ïîâåðõíîñòü Êëÿéíà â âèäå “ôèãóðû 8”,
ïîêàçàííîé íà ðèñóíêå ñïðàâà, ìîæåò áûòü
ïðåäñòàâëåíà â âèäå ñèñòåìû óðàâíåíèé ñ
ïàðàìåòðàìè, êîòîðàÿ âûãëÿäèò ãîðàçäî ïðîùå,
÷åì äëÿ êëàññè÷åñêîé áóòûëêè Êëÿéíà.
 ýòîì ñëó÷àå êðóã ñàìîïåðåñå÷åíèÿ – ýòî
îêðóæíîñòü, ëåæàùàÿ â ïëîñêîñòè XY.
Ïîëîæèòåëüíàÿ êîíñòàíòà r çàäàåò
ðàäèóñ ýòîé îêðóæíîñòè. Ïàðàìåòð u
çàäàåò óãîë â ïëîñêîñòè XY, à v
– ïîçèöèþ îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò.
Òîïîëîãè÷åñêè, áóòûëêà Êëÿéíà ìîæåò áûòü
îïðåäåëåíà êàê êâàäðàò
[0,1] x [0,1] ñî ñòîðîíàìè, îïðåäåëÿåìûìè
ñîîòíîøåíèÿìè (0,y) ~ (1,y) äëÿ 0 ≤ y ≤ 1
è (x,0) ~ (1-x,1) äëÿ 0 ≤ x ≤ 1,
êàê ïîêàçàíî íà äèàãðàììå ñëåâà.
Ñâîéñòâà
Åñëè ðàññå÷ü áóòûëêó Êëÿéíà íà äâå
ïîëîâèíêè âäîëü ïëîñêîñòè ñèììåòðèè, òî
ïîëó÷àòñÿ äâå çåðêàëüíûõ ëåíòû Ìåáèóñà,
îäíà – ñ ðàçâîðîòîì âïîëîáîðîòà âïðàâî,
äðóãàÿ – ñ ðàçâîðîòîì âïîëîáîðîòà âëåâî.
Ôàêòè÷åñêè, âîçìîæíî ðàññå÷ü áóòûëêó
Êëÿéíà òàê, ÷òî ïîëó÷èòñÿ îäíà ëåíòà
Ìåáèóñà.
Èíà÷å, áóòûëêà Êëÿéíà ìîæåò áûòü
ïðåäñòàâëåíà â âèäå äâóõ ëåíò Ìåáèóñà,
ñîåäèíåííûõ äðóã ñ äðóãîì îáû÷íîé
äâóõñòîðîííåé ëåíòîé. Íà ðèñóíêå íèæå âíóòðåííÿÿ
ïîâåðõíîñòü ýòîé ëåíòû îêðàøåíà áåëûì öâåòîì,
à âíåøíÿÿ – ãîëóáûì.
Áóòûëêà Êëÿéíà ìîæåò áûòü ñîçäàíà èç
îäíîãî öèëèíäðà. Îäèí èç êðàåâ öèëèíäðà
çàãèáàåòñÿ â îáðàòíóþ ñòîðîíó, ïðîõîäèò
ñêâîçü öèëèíäð è ñêëåèâàåòñÿ ñ äðóãèì êðàåì.
×òîáû ñîâåðøèòü ýòî ñêëåèâàíèå, íåîáõîäèìî
èñêàçèòü øèðèíó öèëèíäðà. Íà ðèñóíêå íèæå
ïîêàçàíî ýòî ïðåîáðàçîâàíèå. Äëÿ
íàãëÿäíîñòè âíåøíÿÿ ñòîðîíà öèëèíäðà
îêðàøåíà â áåëûé öâåò, à âíóòðåííÿÿ – â
çåëåíûé.
Ñòàòüÿ ñîçäàíà ïî ìàòåðèàëàì Wikipedia
è ñòàòüè “Imaging
maths – Inside the Klein bottle” by Konrad Polthier
Ñì. òàêæå Êîëëåêöèÿ áóòûëîê Êëÿéíà ðàçíîîáðàçíûõ âèäîâ.
Источник
Односторонние поверхности : Лист Мебиуса и Бутылка Клейна
Мы так часто слышим слово – Бесконечность, а не хотелось ли вам когда ни будь подержать эту самую бесконечность в своих руках? Для того что бы сделать это вам придётся взять в руки бумагу, ножницы и клей. Отрежьте полоску бумаги и склейте её как показано на рисунке.
У Вас получилась такая односторонняя поверхность:
Кольцо Мебиуса
Что значит односторонняя? Это значит, что муравей (или житель Плоскатии , о котором мы говорили в предыдущей статье) побывает на обеих сторонах этого листа не переходя через край.
Это значит, что вы можете не отрывая карандаша от бумаги, и не переходя через край закрасить эту фигуру с обеих сторон.
Если вам кажется что ничего особенного в этом нет, тогда попробуйте решить следующую головоломку:
Это древняя головоломка о трёх колодцах и трёх домах.
В ряд стоят 3 дома, напротив каждого из них есть по колодцу. Нужно от каждого дома сделать тропинки к каждому из колодцев так, что бы никакие 2 тропинки не пересекались.
Ниже вы можете сделать это в динамике, только колодцы тут заменены: Газом, Водой и Электричеством. Нужно к каждому из домов провести и газ и воду и электричество, и что бы ни какие 2 трубы ( электрические кабеля) не пересекались.
Ну как? Не получается?
Не так давно была доказана неразрешимость этой задачи при помощи формулы Эйлера (см. заметку на нашем сайте “Прогулка по мостам”).
Но задача эта не разрешима на ПЛОСКОСТИ, НА БУМАГЕ.
Разве мы с вами живем на бумаге? Нас со школы учили оперировать понятиями «Эвклидовой геометрией», а по простому – нас со школы учили мыслить «Плоско».
Что же касается этой головоломки, то она имеет решение, только не в придуманном, а в реальном мире. В этом нам поможет Лист Мебиуса. Соедините соответствующие буквы, и получите ответ на головоломку.
Разумеется, это только начало. Лист Мебиуса таит в себе ещё много неожиданностей.
Фокус №1
Сделайте ещё один Лист Мебиуса, повёрнутый на пол оборота (180 градусов).
А теперь попробуйте его разрезать посредине.
Я Вам не скажу что получится так как:
а) Если Вы уже держите в руках Лист Мебиуса и ножницы, то лишить Вас удовольствия наблюдать за тем, что произойдёт после разрезания – это просто преступление.
б) Если Вы и не думали брать в руки ножницы – тогда сказанный мною результат вас не удивит.
Ну как получилось? Обратите внимание, на сколько оборотов закручен полученный экземпляр?
Фокус №2
Закрутите Лист на 2 полуоборота(360 градусов) , и разрежьте его посередине. Что получается?
Фокус №3
Изготовьте Лист Мебиуса, который закручен на пол оборота (180 градусов), и начинайте его разрезать отступая все время одну треть от края.
Что получается на этот раз?
Фокус№4
Теперь изготовьте Лист Мебиуса, который закручен на 3 полуоборота (540 градусов), и разрежьте его пополам. У вас должен получиться Лист Мебиуса, который закручен узлом. Вроде этого, но сложнее:
ЮФокус №5
Интересные вещи так же получатся, если сложить бумагу гармошкой, затем скрутить из неё Лист Мёбиуса и резать пополам, или отступая одну треть. Первым делом сделайте гармошку, которая состоит из одного перегиба, образуйте лист Мебиуса поворотом на 360 градусов, и разрежьте посредине. Перед вами предстанут 3 сцепленных между собой кольца.
Вы делаете новые и новые Листы, а ведь не каждую полоску можно скрутить в Лист Мебиуса. Например, из квадратного листа бумаги Лист Мебиуса не получится. Тогда какое должно быть минимально отношение длины к ширине полоски, что бы из неё можно было склеить Лист Мебиуса?
Примем для ясности ширину полоски за 1. Оказывается, что минимальная длина полоски равняется v3,
это приблизительно 1,73. Полученное значение равно второму «Золотому сечению».
Возникает логичный вопрос: Существуют ли ещё подобные объекты?
Да, существуют, и ещё более замысловатые. Если Лист Мебиуса – «условно двумерный объект»
(он получен из плоской полоски), то его подружка – Бутылка Клейна полноправно занимает 3 измерения. Вот как она выглядит:
Бутылка Клейна – 3D подружка плоского Мебиуса
Запустите суда муравья, и бедняга побывает во всех точках Бутылки Клейна – не делая в ней дырок, и не переползая через край.
На всех рисунках показано следующее: в месте, где трубка «проникает в бутылку» – нет зазора, хотя это не правильно! Ведь если нет зазора, тогда муравей должен будет выползать из бутылки тем же маршрутом, каким он туда вползал. Разве бродя по Листу Мебиуса ему нужно было разворачиваться после того как он куда то дошёл? Бесконечность, она на то и бесконечность!
А почему мы только обходим Бутылку Клейна? Ведь Лист Мёбиуса мы резали вдоль и поперёк. Что же будет если разрезать Бутылку Клейна?
Это невероятно, но получился Лист Мебиуса. Резать, правда, нужно было так, что бы режущий предмет делал оборот в 360 градусов между начальной точкой и конечной.
Бутылка Клейна в трёх измерениях – это аналог Листа Мёбиуса в двух измерениях.
Выше вы видели «многослойный» Лист Мебиуса – полученный склеиванием бумаги сложенной «гармошкой».
А существуют ли «Многослойные» Бутылки Клейна? Как оказалось – существуют. Назовём их – Бутылки Макса (придумал автор статьи – Максим К.).
Вот – обычная Бутылка Клейна:
А теперь мысленно представьте себе, как внутри этой бутылки начинает формироваться новая Бутылка Клейна. Сначала внутри образуется «Бутылка Клейна» без «трубки» – бутылка с двумя отверстиями , затем образуется трубка, которая проникает в «трубку» иcходной «Бутылки Клейна», проходит всю «трубку», проникает через отверстие в только что сформировавшуюся «Бутылку Клейна». Затем трубка проникает во второе отверстие основной «Бутылки Клейна ». Находясь в задней части основной бутылки , «трубка» начинает медленно обволакивать исходную «Бутылку Клейна» превращаясь при этом в третью , самую большую «Бутылку Клейна».
Процесс доходит до «трубки» – изначальной «Бутылки Клейна» , и постепенно обволакивает её, затем эта «трубка» проникает только что сформировавшуюся «Бутылку Клейна», затем в исходную, затем в самую маленькую. Проникнув в самую маленькую «Бутылку Клейна », «трубка» доходит до отверстия и сливается с ним.
Получилось что самая маленькая «Бутылка Клейна» перешла в самую большую, и стала с ней одним целым. Ниже рисунок того, что вы пытались вообразить.
Не обязательно понимать этот мир, нужно лишь найти себя в нем –
Альберт Эйнштейн
И всё же, так ли уж нужно ломать голову над тем, как устроен этот мир?
Или всё что нам нужно уже есть, и нам остается лишь выбрать «правильный» вариант? Выбор как всегда за вами. Он у вас есть даже в том – делать этот выбор или нет.
По материалам: СОЗЕРЦАЕМ.COM.UA
Dmitry 21.04.2009
Источник
Сегодняшний пост будет посвящён бутылке Клейна. Этот объект тесно связан с листом Мёбиуса, о котором уже говорилось ранее, и с названием этого блога 🙂
Построение
В сущности же, бутылка Клейна очень простая вещь( опять же, если определять её нативно).
1 способ
| Рис. 1 Развёртка бутылки Клейна |
Возьмём квадрат и покрасим его противоположные стороны так, как показано на рисунке 1, задав при этом направление прохождения этих сторон. Теперь склеим противоположные стороны так как показано на рисунке, чтобы цвет и направления стрелок при склейке совпадали. Сначала красные, потом зелёные. После отождествления красных точек получим цилиндр. С зелёными будет похитрее, учитывая что направление должно совпадать.
Замечание: попытайтесь представить это себе, прежде чем изучать рисунок ниже.
Фиолетовым отмечена полоса, которая в конце станет листом Мёбиуса, а изначальная поверхность окрашена в белый цвет снаружи и в зелёный внутри.
2 способ
Отмечу сразу, что результат второго способа ничем не отличается от первого. Разница только в том, как легче представлять процесс и результат.
Склеим теперь сначала зелёные края. Получим уже известную ленту Мёбиуса. А теперь красные. Края ленты склеятся в трубочку. Получится поверхность без края (это свойство, впрочем, не является характерным. Например сфера, куб, тетраэдр и другие правильные многогранники края не имеют, а имеют только поверхность).
Однако есть одно но, которое сильно влияет на свойства бутылки Клейна. Полученный объект не должен иметь самопересечений. Если вы попробуете проделать описанные преобразования вручную, то чтобы всё склеить правильно придётся сделать прорезь ( как это видно на всех приведённых объектах). Однако в самой бутылке Клейна такой прорези быть не должно. Её и нет в четырёхмерном пространстве ( (mathbb{R}^4 ) ), куда, в сущности, и вкладывается бутылка Клейна. В (mathbb{R}^3 ) без самопересечений она быть помещена не может. Поэтому все примеры и реализации бутылки в реальной жизни – это лишь её проекции в наше трёхмерное пространство. Как это понять? Вспомните лист Мёбиуса. По-сути же это кусок плоскости, т.е. двухмерный объект, просто определённым образом склеенный. Кольцо, например, спокойно проецируется на плоскость. Однако после склейки листа Мёбиуса уже невозможно уложить в плоскость ( (mathbb{R}^2 ) ) и без самопересечений он существует только в (mathbb{R}^3 ) .
Замечание: попробуйте 🙂 допускаются любые растяжения и сжатия. всё кроме добавления или удаления уже существующих дырок.
То же происходит и с бутылкой Клейна. Она есть трёхмерный объект, который в (mathbb{R}^3 ) быть вложен не может. Поэтому всё что мы видим – лишь проекция настоящей бутылки Клейна.
История названия
Исходное название бутылки Клейна – “Klein Fla-e-che” (Fläche = поверхность) поверхность Клейна. Но слово Fläche было искажено в процессе популяризации и стало читаться как Fla-s-che (бутылка) из-за преобладания английского языка и прочно утвердилось в математической науке. Позднее термин “бутылка Клейна” также стал использоваться и в Германии.
Применение
Честно говоря, я поняnия не имею какое применение может быть у бутылки Клейна 🙂 То, что я видел или читал, скорее стилизация подо что-то или просто мифические идеи. Например говорят что алхимики очень алкали такой сосуд, у которого не было бы внутренности и внешности ( бутылка Клейна как раз обладает таким свойством).
- Cумки (даже шапки бывают ^^””””):
Замечание: как видите, чайник этот не вполне бутылка Клейна, но не сложно довести его до нужного состояния) Так и у нас тут — я вряд ли смогу абсолютно всё рассказать, но я постараюсь сделать так, чтобы при должном интересе это было не сложно исследовать самим 🙂
Кстати говоря, процесс выдувания таких стеклянных бутылок – крайне трудоёмкий и только стеклодувы высокого класса могут это сделать (потому что нужно оставлять дырочку в поверхности. Понятно, что живи мы в (mathbb{R}^4 ) никаких бы проблем не было )
Алгебраический подход. Определение, формулы построения
Определение
Бутылка Клейна — это неориентируемая поверхность, определённая правилами склейки указанными выше (то есть двумерное многообразие).
Замечу, что изгибать бутылку можно как угодно. От этого она, как и лист Мёбиуса, своих характерных свойств не потеряет. Поэтому она, в принципе, совершенно не обязана выглядеть как бутылка. Например рисунок справа тоже представляет собой бутылку Клейна ( такою форму называют восьмёрка) и задаётся она системой параметрических уравнений :
( begin{cases} x(r, alpha, beta) = & left( r + cos{frac{alpha}{2}} sin{beta} – sin{frac{alpha}{2}} sin{2 beta}right) cos{alpha} \ y(r, alpha, beta) = & left( r + cos{frac{alpha}{2}} sin{beta} – sin{frac{alpha}{2}} sin{2 beta}right) sin{alpha}\ z(r, alpha, beta) = & sin{frac{alpha}{2}}sin{beta}+ sin{ frac{alpha}{2}}sin{2beta} end{cases} )
где ( 0 le alpha < 2pi ) , ( 0 le beta < 2pi ) и (0 le r le 1) – сферические координаты
Или неявным уравнением вида ( (x^2+y^2+z^2+2y-1)({(x^2+y^2-2y-1)}^2 – 8z^2)+16xz(x^2+y^2+z^2-2y-1)=0).
| В этой вкладке слева ссылки на аплеты по теме бутылки Клейна. |
Опять же, можете построить его в WolframAlpha, но на этот раз достаточно просто набить в поисковике “klein bottle”
Замечание: я не собираюсь приводить здесь систему уравнений задающую бутылку Клейна такой, какой мы её привыкли видеть ввиду её громоздкости.
А ещё там же вы можете найти много приложений, в которых можно повертеть и помучить 🙂
Иллюстрация разрезания.
Ещё один способ раскромсать бутылку на что-нибудь любопытное:
Здесь бутылка Клейна разрезается на два зеркальных друг другу листа Мёбиуса (т.е. один перекручен направо, а другой налево. Как вы думаете, переводится ли один в другой? ) Между листами вклеена обычная лента ( кольцо), внешняя часть которого покрашена в белый, а внутренняя в голубой. Вообще можно разрезать бутылку Клейна так, чтобы получить один лист Мёбиуса, но об этом вы уже знаете (нужно просто резать так же как склеивали во втором случае)
Заключение
В сущности, бутылка Клейна кажется не очень-то серьёзным объектом. Ну склеили края ленты, ну молодцы, пользы-то никакой. По-правде от всего есть польза. В частности, склеивая одностороннюю ленту Мёбиуса мы всё ещё получаем одностороннюю неориентируемую поверхность. А что будет если и ещё склеить? это уже нашему понимаю не поддаётся, потому как представлять это нужно в четырёхмерном пространстве. А что если склеивать не противоположные точки края ленты Мёбиуса, а накрест лежащие?
И наконец, что будет если склеивать не ленту Мёбиуса и не кольцо а, скажем, обыкновенный круг?
Замечание: подумайте над ответом на этот вопрос в двух случаях:
- все точки края склеим в одну. Получим сферу
- диаметрально противоположные точки края склеиваются между собой.
Так вот в последнем случае получается проективное пространство. А это уже — целая тема для будущих постов)
Ссылки
Источник