В сосуде с ртутью плавает шарик

А так ли хорошо знакома вам выталкивающая сила? // Квант. – 1990. – № 6. – С. 40-41.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала “Квант”

Тела более легкие, чем жидкость, опущенные в эту жидкость

насильственно, будут выталкиваться вверх…

Тела более тяжелые, чем жидкость, опущенные в эту жидкость,

будут погружаться, пока не дойдут до самого низа…

Архимед, О плавающих телах

Герой этого выпуска «Калейдоскопа» – несомненно, Архимед. Древнегреческий ученый, с законом, которого вы знакомитесь едва ли не в самом начале изучения физики, заложил научные основы гидростатики. Они были развиты лишь в XVI-XVII столетиях Стевином, Галилеем, Паскалем, а окончательную формулировку получили уже в XIX веке. Кстати, именно труды Архимеда оказали решающее влияние на становление Галилея как ученого. О практическом же применении результатов архимедовых исследований и говорить не приходится, они хорошо вам известны – от кораблестроения до воздухоплавания.

Однако наглядность и простота многих задач на закон Архимеда – кажущаяся, порой они требуют серьезных размышлений. Попробуйте свои силы, не забывая, что надежны помощником вам будет эксперимент – а для проведения опытов наступившее лето дает столько возможностей.

Вопросы и задачи

1. В сосуде с водой плавает в вертикальном положении брусок. Как изменится уровень воды в сосуде, если брусок перейдет в горизонтальное положенне?
2. Однажды царь спросил у Архимеда, сколько нужно взять золота, чтобы его масса была равна массе слона. Как Архимед справился с задачей?
3. На крюке динамометра висит ведерко. Изменится ли показание динамометра, если ведерко наполнить водой и погрузить в воду?
4. Человек, несший автомобильную камеру, решил облегчить ношу. Для этого он накачал камеру, увеличив ее объем и рассчитывая использовать выталкивающую силу воздуха. Достиг ли он цели?
5. Что тяжелее – тонна дерева или тонна железа?
6. Изменится ли уровень воды в сосуде, если нить, удерживающую свинцовый шарик, удлинить так, чтобы шарик полностью погрузился в воду?

   

7. Стальной шарик плавает в ртути. Изменится ли погружение шарика в ртуть, если сверху долить воды?
8. Рыбак для хранения живой рыбы сделал в своей лодке ящик с отверстием в дне лодке. Не потонет ли она, если спустить ее на воду?
9. В одном из сосудов с водой плавает кусок льда с пузырьком воздуха, в другом – с вмерзшим стальным шариком. Изменятся ли уровни воды в сосудах, когда лед растает?
10. Одна из бутылок наполнена водой, другая – ртутью. Потонет ли первая бутылка, если ее опустить в воду? Потонет ли вторая, если ее опустить в ртуть?
11. Что произойдет с уровнем воды в бассейне, если из лодки, плавающей в нем, бросить в него камень?
12. Деревянный кубик лежит на дне сухого сосуда. Всплывет ли он, если в сосуд налить воду?

Микроопыт

Прикрепите к короткому отрезку стеариновой свечи небольшой грузик так, чтобы свеча, плавала в воде. Зажгите плавающую свечу и постарайтесь выяснить: погаснет ли пламя, как только сгорит отрезок, выступающий первоначально над водой?

Любопытно, что…

…история, связанная с короной царя Гиерона, добавила к прочим заслугам Архимеда почетное звание, по-видимому, первого известного нам ученого-детектива.

…в районах, впадения рек в море встречаются бревна, длительное время плавающие внутри воды на устойчивом расстояний от ее поверхности. Объясняется это меньшей, чем у морской, плотностью пресной воды. На разделе этих вод может оказаться древесина с промежуточной плотностью.

…на закон Архимеда многократно многократно опирались авторы проектов «вечных» двигателей. Подумайте, кстати, почему не мог действовать «двигатель», изображенный на рисунке.

…задачу под номером 11 как то предложили знаменитым физикам Дж. Гамову, Р. Оппенгеймеру и Ф. Блоху, и… все трое ответили неверно.

…до сих пор не обнаружен автор популярной школьной, частушки:

После сытного обеда

По закону Архимеда

Полагается поспать…

Хорошо бы узнать, какие физические соображения позволили автору связать выталкивающую силу с послеобеденным сном?

Что читать в «Кванте» о выталкивающей силе

1. «Работа, энергии, и архимедова сила» – 1984, № 3, с. 27;
2. «Закон Архимеда» – 1984, № 9, с. 30;
3. «Повторим гидростатику» – 1985, № 2, с 48;
4. «Закон Архимеда» – 1987, № 1, с. 29;
5. «Архимедова сила в литературных произведениях» – 1988, № 5, с. 41;
6. «Закон Архимеда с точки зрения математика» – 1989, № 10, с. 44.

Ответы

1. Не изменится, так как количество вытесненной воды останется тем же.
2. Погрузил сперва на плот слона, отметил уровень погружения; затем грузил слитки золота на плот до такого же погружения.
3. Да, уменьшится на величину веса воды, вытесняемой стенками и дном ведра.
4. Нет, поскольку, увеличив выталкивающую силу, человек более значительно увеличил вес своей ноши (плотность сжатого воздуха в камере больше плотности наружного воздуха).
5. Вес в вакууме того дерева, которое в воздухе весит тонну, больше веса в вакууме того железа, которое весит в воздухе также одну тонну.
6. Не изменится.
7. Глубина погружения в ртуть уменьшится, так как возрастет выталкивающая сила за счет вытесненной шариком воды.
8. Нет. Ящик и русло реки – сообщающиеся сосуды, и вода в ящике будет на таком же уровне, как и вода в реке.
9. В первом – не изменится, во втором – понизится.
10. Бутылка с водой потонет, с ртутью – нет.
11. Когда камень находится в лодке, он вытесняет объем воды, масса которого равна массе камня. Поскольку плотность камня больше плотности воды, то объем вытесненной воды больше объема камня. Лежа на дне бассейна, камень вытесняет объем воды, равный лишь его собственному. Поэтому объем вытесненной им воды при попадании в бассейн уменьшается, и уровень падает.
12. Да – если вода проникнет под кубик, нет – в противном случае.

Микроопыт

Сгорая, свеча уменьшается в весе и всплывает, поэтому горит дольше, чем кажется поначалу.

Источник

Автор Тема: Жидкости и газы из сборника задач Савченко Н.Е. (Прочитано 48553 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Решение задач по физике из книги Савченко Н.Е. Решение задач по физике. – Мн.: Высш. школа, 2003. – 479 с.

« Последнее редактирование: 17 Марта 2018, 19:01 от alsak »

Записан

346. Аквариум доверху наполнен водой. С какой средней силой давит вода на плоскую вертикальную стенку аквариума длиной l = 50 см и высотой h = 30 см? Плотность воды равна 1,0⋅103 кг/м3.

Решение. Средняя сила давления на стенку равна

[ left langle F right rangle = frac{p_{A} +p_{B}}{2} cdot S, ]

где рА = 0 – гидростатическое давление на поверхности воды (в точке А), pB = ρ⋅g⋅h – гидростатическое давление жидкости на глубине h (в точке В) (рис. 1), S = l⋅h – площадь стенки. Тогда

[ left langle F right rangle = frac{p_{B}}{2} cdot S = frac{rho cdot g cdot h}{2} cdot l cdot h = frac{rho cdot g cdot l cdot h^{2}}{2}, ]

<F> = 225 Н.

Записан

350. Полый шар, отлитый из чугуна, плавает в воде, погрузившись ровно наполовину. Найти объем полости шара, если масса шара m = 5 кг. Плотность чугуна ρ1 = 7,8⋅103 кг/м3, воды ρ2 = 1⋅103 кг/м3.

Решение. Условие плавания шара (рис. 1):

FA = m⋅g,

где FA = ρ2⋅g⋅Vp – архимедова сила, Vp = V/2 – объем погруженной части шара. Объем шара

V = V1 + V2,

где V1 = m/ρ1 – объем чугуна, V2 – объем полости. Тогда

[ rho _{2} cdot g cdot frac{V}{2} = m cdot g, , ; , V = frac{2m}{rho _{2}}, ; ; ; V_{2} = V-V_{1} = frac{2m}{rho _{2}} -frac{m}{rho _{1}} = m cdot left(frac{2}{rho _{2}} -frac{1}{rho _{1}} right), ]

V2 = 9,4⋅10-3 м3.

Записан

359. Металлический брусок плавает в сосуде, в который налита ртуть, а поверх нее – вода. При этом в ртуть брусок погружен на α1 = 1/4 своей высоты, а в воду – на α2 = 1/2 высоты. Найти плотность металла. Плотность ртути ρ1 = 13,6⋅103 кг/м3, плотность воды ρ2 = 1⋅103 кг/м3.

Решение. Условие плавания бруска:

FA1 + FA2 = m⋅g, (1)

где FA1 = ρ1⋅g⋅V1 – архимедова сила со стороны ртути, FA2 = ρ2⋅g⋅V2 – архимедова сила со стороны воды, m = ρ⋅V – масса бруска.

Обозначим площадь основания бруска S, высоту – h (рис. 1). Тогда

V1 = S⋅h1 = α1⋅S⋅h, V2 = S⋅h2 = α2⋅S⋅h, V = S⋅h.

После подстановки в (1) получим

ρ1⋅g⋅V1 + ρ2⋅g⋅V2 = ρ⋅V⋅g, ρ1⋅V1 + ρ2⋅V2 = ρ⋅V,

α1⋅ρ1⋅h + α1⋅ρ2⋅h = ρ⋅h, ρ = α1⋅ρ1 + α2⋅ρ2,

ρ = 3,9⋅103 кг/м3.

Записан

378. Однородная прямая призма, площадь основания которой S = 1 м2 и высота h = 0,4 м, плавает на поверхности воды так, что в воде находится половина ее объема. Найти минимальную работу, необходимую для полного погружения призмы в воду. Плотность воды ρ = 1,0⋅103 кг/м3.

Решение. При равномерном погружении призмы в воду будет увеличиваться архимедова сила, следовательно, должна изменяться и сила F, работу которой мы должны найти. Определим от каких параметров зависит эта сила F.

На призму действуют сила тяжести (m⋅g), архимедова сила (FA) и внешняя сила (F).

В начальный момент времени на призму еще не действует внешняя сила F (рис. 1):

m⋅g = FA1,

где FA1 = ρ⋅g⋅V1 = ρ⋅g⋅S⋅h1 = ρ⋅g⋅S⋅h/2. Тогда

m⋅g = ρ⋅g⋅S⋅h/2. (1)

В конечный момент времени, когда призма полностью в воде, внешняя сила F достигает максимального значения F2 (рис. 2):

0 = -m⋅g – F2 + FA2,

где FA2 = ρ⋅g⋅V = ρ⋅g⋅S⋅h. Тогда с учетом уравнения (1) получаем

F2 = FA2 – m⋅g = ρ⋅g⋅S⋅h – ρ⋅g⋅S⋅h/2 = ρ⋅g⋅S⋅h/2. (2)

Используя уравнение (2), построим график зависимости внешней силы F от глубины h (рис. 3). Работу этой силы можно найти графическим способом: работа силы F численно равна площади заштрихованной фигуры (треугольника)

[ A = frac{F_{2} cdot left(h-h_{1} right)}{2} = frac{1}{2} cdot rho cdot g cdot S cdot frac{h}{2} cdot frac{h}{2} = rho cdot g cdot S cdot frac{h^{2}}{8}, ]

A = 2⋅102 Дж.

Записан

383. Резиновый мяч, масса которого m и радиус R, погружают под воду на глубину h и отпускают. На какую высоту, считая от поверхности воды, подпрыгнет мяч? Плотность воды ρ. Сопротивление воды и воздуха при движении не учитывать.

Решение. Можно решать задачу, используя метод решения, предложенный в задаче 378, но будет математически сложно рассчитать работу архимедовой силы за промежуток времени, когда мяч начинает выходить из воды (объем, а значит и архимедова сила, не линейно изменяются от глубины погружения).

Поэтому воспользуемся другим методом: рассмотрим потенциальную энергию водяного шарика радиуса R, который заполнит то место, где был вначале мяч. То есть будет рассматривать энергию системы мяч-водяной шарик.

За нулевую высоту примем поверхность воды (рис. 1).

Полная механическая энергия системы в начальном состоянии

W0 = -m⋅g⋅h

(водяной шарик вначале был распределен по поверхности воды и его энергия равна нулю).

Полная механическая энергия системы в конечном состоянии

W = m⋅g⋅H – m2⋅g⋅h,

где [ m_{2} = rho cdot V = frac{4}{3} pi cdot R^{3} cdot rho ] – масса водяного шарика. Из закона сохранения механической энергии следует, что

-m⋅g⋅h = m⋅g⋅H – m2⋅g⋅h,

[ H = frac{left(m_{2} -mright) cdot h}{m} = left(frac{m_{2} }{m} -1right) cdot h = left(frac{4pi }{3m} cdot R^{3} cdot rho -1 right) cdot h.

]

Записан

340. Длинная вертикальная трубка погружена одним концом в сосуд с ртутью. В трубку наливают m = 0,71 кг воды. Определить изменение уровня ртути в трубке. Диаметр трубки d = 0,06 м, плотность ртути ρ = 13,6⋅103 кг/м3. Толщиной стенок трубки пренебречь.

Решение. Когда трубка была в ртути без воды, то уровень ртути внутри трубки равен уровню ртути снаружи (рис. 1, а). Под давления воды в трубке ртуть опускается вниз на Δh (рис. 1, б). Найдем эту высоту Δh.

Рассмотрим давление в точке A. Сверху в данной точке давит вода (pv) и атмосфера (pa), снизу – ртуть (pp) и атмосфера (pa). Так как жидкость не движется, то

pv + pa = pp +pa,

где [ p_{v} =frac{mcdot g}{S}, ; ; ; S=frac{pi cdot d^{2} }{4}, ] pp = ρ⋅g⋅Δh. Тогда

[ frac{4mcdot g}{pi cdot d^{2} } =rho cdot gcdot Delta h, ; ; ; Delta h=frac{4m}{rho cdot pi cdot d^{2} }, ]

Δh = 1,8⋅10-2 м.

Примечание. Данное решение верно только для случая, когда площадь поверхности сосуда во много раз больше площади поперечного сечения трубки, т.е. трубку считаем тонкой. Иначе пришлось бы учитывать изменение высоты ртути вне трубки (но для этого нужно знать площадь поперечного сечения сосуда).

Записан

341. В подводной части судна образовалось отверстие, площадь которого S = 5,0 см2. Отверстие находится ниже уровня воды на h = 3,0 м. Какая минимальная сила требуется, чтобы удержать заплату, закрывающую отверстие с внутренней стороны судна? Плотность воды ρ = 1,0⋅103 кг/м3.

Решение. Что бы удержать заплату, надо к ней приложить силу, не меньшую чем сила давления воды:

F ≥ p⋅S,

где p = ρ⋅g⋅h – гидростатическое давление воды на глубине h. Тогда

Fmin = ρ⋅g⋅h⋅S,

Fmin = 15 Н.

Примечание. Так размеры отверстия во много раз меньше глубины погружения, то изменением давления на разных участках отверстия пренебрегаем.

Записан

342. На какой глубине в открытом водоеме давление в n = 3,0 раза больше нормального атмосферного давления? Плотность воды ρ = 1,0⋅103 кг/м3, нормальное атмосферное давление p0 считать равным 1,0⋅105 Па.

Решение. На глубине открытого водоема давление равно

p = ρ⋅g⋅h + p0,

где p = n⋅p0 (по условию). Тогда

[ ncdot p_{0} =rho cdot gcdot h+p_{0}, ; ; ; rho cdot gcdot h=left(n-1right)cdot p_{0}, ; ; ; h=frac{left(n-1right)cdot p_{0} }{rho cdot g}, ]

h = 20 м.

Записан

343. В открытый цилиндрический сосуд налиты ртуть и вода в равных по массе количествах. Общая высота двух слоев жидкостей h = 29,2 см. Определить давление жидкостей на дно сосуда. Плотность ртути ρ1 = 13,6⋅103 кг/м3, плотность воды ρ2 = 1,00⋅103 кг/м3.

Решение. Давление жидкостей на дно сосуда будет равно

p = p1 + p2, (1)

где p1 = ρ1⋅g⋅h1 – давление ртути, p2 = ρ2⋅g⋅h2 – давление воды.

Найдем высоту столбца каждой жидкости h1 и h2. Пусть S – площадь поперечного сечения цилиндрического сосуда, тогда массы жидкостей будут равны

m1 = ρ1⋅V = ρ1⋅S⋅h1, m2 = ρ2⋅S⋅h2.

По условию

m1 = m2 и h1 = h2.

Тогда

ρ1⋅S⋅h1 = ρ2⋅S⋅h2 или ρ1⋅h1 = ρ2⋅h2,

[ h_{1} =frac{rho _{2} }{rho _{1} } cdot h_{2}, ; ; ; h=frac{rho _{2} }{rho _{1} } cdot h_{2} +h_{2} =frac{rho _{2} +rho _{1} }{rho _{1} } cdot h_{2}, ]

[ h_{1} =frac{rho _{2} }{rho _{2} +rho _{1} } cdot h. ]

После подстановки в уравнение (1) получаем:

[ p=rho _{1} cdot gcdot frac{rho _{2} }{rho _{2} +rho _{1} } cdot h+rho _{2} cdot gcdot frac{rho _{1} }{rho _{2} +rho _{1} } cdot h=frac{2rho _{1} cdot rho _{2} }{rho _{2} +rho _{1} } cdot gcdot h, ]

p = 5,44⋅103 Па.

« Последнее редактирование: 11 Августа 2011, 13:47 от alsak »

Записан

Источник